Feladat: C.498 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ábrány Miklós ,  Buti Tamás ,  Csató György ,  Csirmaz Attila ,  Czirkos Zoltán ,  Friedl Zita ,  Kovács Adrián ,  Rózsa Tamás ,  Sarlós Ferenc ,  Strobl Apolka ,  Szipola Ágnes ,  Tóth Adrienn 
Füzet: 1998/október, 401 - 402. oldal  PDF file
Témakör(ök): Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/március: C.498

Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget:
x3+1>x2+x.(1)


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rendezzük át az (1) egyenlőtlenséget, és alakítsuk szorzattá:

x3-x2-x+1=(x2-1)(x-1)>0.
A szorzat akkor pozitív, ha vagy mindkét tényezője pozitív, vagy mindkét tényezője negatív.
(x-1)>0, ha x>1, s ekkor x2-1>0 ugyancsak teljesül, most tehát igaz az (1) egyenlőtlenség.
Ha x=1, akkor x-1=0, ha x=-1, akkor x2-1=0, ez nem megoldás.
Ha -1<x<1, akkor x-1<0 és x2-1<0, és így a szorzatuk pozitív, vagyis teljesül az (1) egyenlőtlenség.
Végül, ha x<-1, akkor x-1<0 és x2-1>0, tehát nem állhat fenn az (1) egyenlőtlenség.
Összefoglalva az egyenlőtlenség megoldása a -1<x<1 és az x>1 értékek halmaza.
 Czirkos Zoltán (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gimn., 10. o.t.)