Feladat: C.495 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ábrány Miklós ,  Antal István ,  Babos Attila ,  Bákor Krisztina ,  Birkner Tamás ,  Börcsök József ,  Csató György ,  Csizmadia Zsolt ,  Csornai Gyula ,  Farkas Melinda ,  Farkas Milán ,  Gajdos Béla ,  György László ,  Kalcsú Áron ,  Kiss Sándor ,  Kocsis Gábor ,  Kovács Adrián ,  Lengyel Zoltán ,  Lovas Róbert ,  Makó Veronika ,  Németh Ádám ,  Péterfalvi Ferenc ,  Pozsonyi Tamás ,  Sarlós Ferenc ,  Somlai Henrietta ,  Szigel Gábor ,  Szűcs Zsófia ,  Varga Zsolt ,  Zalán Péter ,  Závodi Attila 
Füzet: 1998/október, 399. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trapézok, Geometriai egyenlőtlenségek, Külső szög tétel, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/február: C.495

Bizonyítsuk be, hogy ha egy trapéz alapján fekvő szögek nem egyenlők, akkor a kisebbik szög csúcsából kiinduló átló hosszabb, mint a másik átló.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az alapon fekvő szögek α és β, és legyen α<β; ekkor azt állítjuk, hogy AC>BD. Mérjük fel az A csúcsban a β szöget az ábra szerint. Ekkor az ABCD' szimmetrikus trapézt kapjuk, amelyben BD'=AC. A DD'B háromszögből

D'DB>DCB,(1)
hiszen D'DB a DCB háromszög külső szöge, amiről tudjuk, hogy egyenlő a két nem szomszédos belső szög összegével.
DCB=DD'A,(2)
mivel az ABCD' trapéz szimmetrikus. Másrészt
DD'A>DD'B,(3)
az utóbbi szög ugyanis része az előzőnek. (1), (2) és (3)-ból
D'DB>DCB=DD'A>DD'B.
Azaz a D'DB háromszögben D'DB>DD'B, nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal fekszik, ezért AC=BD'>BD. Ezt akartuk bizonyítani.