Feladat: Gy.3173 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gyenes Zoltán ,  Harangi Viktor ,  Máthé András ,  Szilasi Zoltán ,  Varga Balázs ,  Varjú Péter ,  Venter György ,  Vitéz Ildikó ,  Zábrádi Gergely 
Füzet: 1998/május, 285 - 286. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térgeometriai szerkesztések, Térelemek és részeik, Háromszögek egybevágósága, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/december: Gy.3173

A tér egy P pontján át három egyenes halad. Szerkesszünk P-n át olyan síkot, amely mindegyik egyenessel ugyanakkora szöget zár be.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először egy olyan S síkot szerkesztünk, amely mindegyik egyenessel ugyanakkora szöget zár be, de nem megy át a P ponton. Ha ezt a síkot úgy toljuk el, hogy illeszkedjen P-re, a kívánt síkot kapjuk.
Tegyük fel, hogy a három egyenes nincs egy síkban. Mérjünk rá mindegyik egyenesre P-től valamelyik irányba egy adott d szakaszt (ábra). A szakaszok P-től különböző végpontja legyen A, B és C. Belátjuk, hogy az A, B, C pontok által meghatározott S sík mindegyik egyenessel ugyanakkora szöget zár be. Legyen P merőleges vetülete az S síkon Q. A PQA, PQB és PQC háromszögek egybevágók, mert megegyeznek két oldalunkban és a nagyobbikkal szemközti szögben. Ezért a PA, PB, PC egyenesek S-sel ugyanakkora szöget zárnak be. A d távolságot a három egyenesre összesen 222=8-féleképpen mérhetjük fel; az s-re kapott 8 sík párosával tükrös helyzetű P-re, ezért a feladatnak általában 82=4 megoldása van.
Ha a három egyenes egy síkban van, akkor ez az egyetlen olyan sík, amellyel mindegyik egyenes ugyanakkora (nulla fokos) szöget zár be.

 Máthé András (Budapest, Apáczai Cs. János Gimn., 10. évf.)