Feladat: F.3200 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Andrássy Zoltán ,  Babos Attila ,  Barát Anna ,  Bujdosó Attila ,  Dályay Virág ,  Fehér Lajos Károly ,  Gajári Dávid ,  Gáli Gergely ,  Gáspár Merse Előd ,  Gerbicz Róbert ,  Gueth Krisztián ,  Harangi Viktor ,  Hartmann Miklós ,  Kiss András Péter ,  Léka Zoltán ,  Mecz Balázs ,  Páles Csaba ,  Pap Júlia ,  Pataki Péter ,  Poronyi Gábor ,  Pszota Anikó ,  Rácz Balázs ,  Sido Péter ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Tisch Dávid ,  Vágvölgyi Péter ,  Vaik István ,  Vaik Zsuzsanna ,  Végh A. László ,  Zalán Eszter ,  Zombori Tamás 
Füzet: 1998/október, 410. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trapézok, Érintőnégyszögek, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/november: F.3200

Adottak az AB és a CD szakaszok. AB-t rögzítjük, CD-t pedig úgy mozgatjuk AB-vel párhuzamosan, hogy az ABCD négyszög mindig érintőtrapéz legyen. Milyen pályát ír le a mozgás során CD felezőpontja?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük CD felezőpontját F-fel. Az F-en átmenő, AD-vel, illetve BC-vel párhuzamos egyenesek és az AB egyenes metszéspontja legyen M1, illetve M2. Mivel CD párhuzamos AB-vel, az AM1FD és a BCFM2 négyszögek paralelogrammák, azaz AM1=DF=CD2=FC=M2B. Vagyis CD mozgása során az M1 és az M2 pontok nem mozognak, mert A-tól, illetve B-től való távolságuk állandó.
Megmutatjuk, hogy CD mozgása során F egy olyan ellipszisen mozog, amelynek fókuszai M1 és M2. Mivel ABCD érintőtrapéz, a szemközti oldalainak összege egyenlő, azaz AD+BC=AB+CD=állandó. De AD=M1F és BC=M2F, tehát F valóban mindig rajta van egy M1 és M2 fókuszú, AB+CD nagytengelyű E ellipszisen. Ha Q az E egy olyan pontja, amely nincs rajta az AB egyenesen, akkor a Q-n átmenő AB-vel párhuzamos egyenesre Q-ból mindkét irányban felmérve a CD2 távolságot, olyan C1 és D1 pontokat kapunk, amelyekre az ABC1D1 négyszög nyilván érintőtrapéz.
Tehát a mozgás során CD felezőpontja egy ellipszist ír le, kivéve az ellipszis nagytengelyének két végpontját (az E ellipszis és az AB egyenes metszéspontjait).

 Tisch Dávid (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján