Kezdőlap


Feladat:	F.3198	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baharev Ali , Balogh Attila , Bárány Kristóf , Barát Anna , Csikvári András , Dályay Virág , Gelencsér Gábor , Gerbicz Róbert , Gueth Krisztián , Hartmann Miklós , Juhász András , Léka Zoltán , Lippner Gábor , Lukács László , Mansur Boase , Moór Csaba , Oláh Szabolcs , Páles Csaba , Pataki Péter , Szabó Gábor , Székelyhidi Gábor , Terpai Tamás , Vaik István , Végh A. László , Vidor Anna , Zábrádi Gergely , Zawadowski Ádám
Füzet:	1998/május, 288 - 289. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Teljes indukció módszere, Köbszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/november: F.3198

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az $a_{i}$ -k különbözőek, feltehetjük, hogy $a_{1} < a_{2} < ... < a_{n}$ . A feladatot az $n$ -re vonatkozó teljes indukcióval fogjuk megoldani.
Ha $n = 1$ , akkor $a_{1}^{5} + a_{1}^{7} \geq 2 a_{1}^{6}$ bizonyítandó. Ezt $a_{1}^{3}$ -nal osztva $a_{1}^{2} + a_{1}^{4} \geq 2 a_{1}^{3}$ adódik, amivel ekvivalens a következő: ${(a_{1}^{2} - a_{1})}^{2} \geq 0$ . Ez utóbbi nyilvánvaló; egyenlőség csak akkor áll fenn, ha $a_{1} = 1$ .
Tegyük fel ezután, hogy valamely $n$ -re teljesül a feladat állítása, majd mutassuk meg, hogy ekkor teljesül a következő is: (tetszőleges $a_{1} < a_{2} < ... < a_{n + 1}$ pozitív egészekre):

\begin{matrix} a_{1}^{5} + ... + a_{n}^{5} + a_{n + 1}^{5} + a_{1}^{7} + ... + a_{n}^{7} + a_{n + 1}^{7} \geq 2 {(a_{1}^{3} + ... + a_{n}^{3} + a_{n + 1}^{3})}^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \begin{matrix} (a_{1}^{5} + ... + a_{n}^{5}) + (a_{1}^{7} + ... + a_{n}^{7}) + a_{n + 1}^{5} + a_{n + 1}^{7} \geq \\ \geq 2 {(a_{1}^{3} + ... + a_{n}^{3})}^{2} + 2 (a_{n + 1}^{6} + 2 a_{1}^{3} a_{n + 1}^{3} + ... + 2 a_{n}^{3} a_{n + 1}^{3}) . \end{matrix} \end{matrix}

Az indukciós feltevés következtében a bal oldalon lévő két zárójeles kifejezés összege nem kisebb, mint a jobb oldal első tagja, ezért elegendő azt bizonyítani, hogy

\begin{matrix} a_{n + 1}^{5} + a_{n + 1}^{7} \geq 2 (a_{n + 1}^{6} + 2 a_{1}^{3} a_{n + 1}^{3} + ... + 2 a_{n}^{3} a_{n + 1}^{3}) . \end{matrix}

Osszuk el mindkét oldalt

a_{n + 1}^{3}

-nel, és rendezzük a következőképpen:

\begin{matrix} a_{n + 1}^{4} + a_{n + 1}^{2} - 2 a_{n + 1}^{3} \geq 4 (a_{1}^{3} + ... + a_{n}^{3}), \end{matrix}

majd 4-gyel osztva

\begin{matrix} {(\frac{(a_{n + 1} - 1) a_{n + 1}}{2})}^{2} \geq a_{1}^{3} + ... + a_{n}^{3} . \end{matrix}

(1)

A megoldás utolsó lépésében felhasználjuk az

\begin{matrix} 1^{3} + 2^{3} + ... + n^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} \end{matrix}

(2)

összefüggést, amelyet könnyen beláthatunk (az

n

szerinti) teljes indukcióval.
Most

(a_{n + 1} - 1)

-et írva

n

helyébe (2)-ben:

\begin{matrix} 1^{3} + 2^{3} + ... + {(a_{n + 1} - 1)}^{3} = {(\frac{(a_{n + 1} - 1) a_{n + 1}}{2})}^{2} . \end{matrix}

(3)

Ezután (1)-ben a bal oldal helyébe beírjuk (3) bal oldalát:

\begin{matrix} 1^{3} + 2^{3} + ... + {(a_{n + 1} - 1)}^{3} \geq a_{1}^{3} + ... + a_{n}^{3} . \end{matrix}

Mivel

a_{1} < a_{2} < ... < a_{n + 1}

, az állítás nyilvánvalóan igaz. Egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha

a_{i} = i

.
Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzés. A megoldó felhasználta Bogdán Zoltán: Matematika feladatok ‐ ötletek ‐ megoldások c. könyvének II. 69. oldal 42. feladatát.

Balogh Attila (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., 11. évf.)