Feladat: F.3198 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baharev Ali ,  Balogh Attila ,  Bárány Kristóf ,  Barát Anna ,  Csikvári András ,  Dályay Virág ,  Gelencsér Gábor ,  Gerbicz Róbert ,  Gueth Krisztián ,  Hartmann Miklós ,  Juhász András ,  Léka Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Lukács László ,  Mansur Boase ,  Moór Csaba ,  Oláh Szabolcs ,  Páles Csaba ,  Pataki Péter ,  Szabó Gábor ,  Székelyhidi Gábor ,  Terpai Tamás ,  Vaik István ,  Végh A. László ,  Vidor Anna ,  Zábrádi Gergely ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1998/május, 288 - 289. oldal  PDF file
Témakör(ök): Teljes indukció módszere, Köbszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/november: F.3198

Az a1, a2, ..., an számok különböző pozitív egészek. Bizonyítsuk be, hogy
(a17+a27+...+an7)+(a15+a25+...+an5)2(a13+a23+...+an3)2.(3)


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az ai-k különbözőek, feltehetjük, hogy a1<a2<...<an. A feladatot az n-re vonatkozó teljes indukcióval fogjuk megoldani.
Ha n=1, akkor a15+a172a16 bizonyítandó. Ezt a13-nal osztva a12+a142a13 adódik, amivel ekvivalens a következő: (a12-a1)20. Ez utóbbi nyilvánvaló; egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a1=1.
Tegyük fel ezután, hogy valamely n-re teljesül a feladat állítása, majd mutassuk meg, hogy ekkor teljesül a következő is: (tetszőleges a1<a2<...<an+1 pozitív egészekre):

a15+...+an5+an+15+a17+...+an7+an+172(a13+...+an3+an+13)2,
azaz
(a15+...+an5)+(a17+...+an7)+an+15+an+172(a13+...+an3)2+2(an+16+2a13an+13+...+2an3an+13).
Az indukciós feltevés következtében a bal oldalon lévő két zárójeles kifejezés összege nem kisebb, mint a jobb oldal első tagja, ezért elegendő azt bizonyítani, hogy
an+15+an+172(an+16+2a13an+13+...+2an3an+13).
Osszuk el mindkét oldalt an+13-nel, és rendezzük a következőképpen:
an+14+an+12-2an+134(a13+...+an3),
majd 4-gyel osztva
((an+1-1)an+12)2a13+...+an3.(1)
A megoldás utolsó lépésében felhasználjuk az
13+23+...+n3=(n(n+1)2)2(2)
összefüggést, amelyet könnyen beláthatunk (az n szerinti) teljes indukcióval.
Most (an+1-1)-et írva n helyébe (2)-ben:
13+23+...+(an+1-1)3=((an+1-1)an+12)2.(3)
Ezután (1)-ben a bal oldal helyébe beírjuk (3) bal oldalát:
13+23+...+(an+1-1)3a13+...+an3.
Mivel a1<a2<...<an+1, az állítás nyilvánvalóan igaz. Egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha ai=i.
Ezzel a feladatot megoldottuk.
 
Megjegyzés. A megoldó felhasználta Bogdán Zoltán: Matematika feladatok ‐ ötletek ‐ megoldások c. könyvének II. 69. oldal 42. feladatát.

 Balogh Attila (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., 11. évf.)