Feladat: Gy.3156 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Babos Attila ,  Bákor Krisztina ,  Bárány Zsófi ,  Besenyei Ádám ,  Borbíró Levente ,  Boros M. Mátyás ,  Breuer János ,  Buruzs Ádám ,  Csirmaz Előd ,  Déri Zsolt ,  Fellegi Zoltán ,  Gelencsér Gábor ,  Gyarmati-Szabó István ,  Gyenes Zoltán ,  Hegedűs Ákos ,  Horváth György ,  Kardos Péter ,  Klausz Ferenc ,  Kovács Roland ,  Nagy Ádám ,  Reviczky Ádám ,  Somodi Katalin ,  Szilasi Zoltán ,  Taraza Busra ,  Tolvaj Nándor ,  Varga Balázs ,  Varga Szilvia ,  Vígh Éva ,  Vizer Máté 
Füzet: 1998/május, 280 - 281. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt kör, Súlyvonal, Súlypont, Szögfelező egyenes, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/október: Gy.3156

Egy háromszögről tudjuk, hogy súlyvonalainak a beírt körbe eső szakaszai egyenlő hosszúak. Következik-e ebből, hogy a háromszög szabályos?

Megmutatjuk, hogy a feltételekből következik a feladat állítása.
Egy O középpontú k kör O-tól különböző belső P pontján át legfeljebb két egyenlő hosszúságú húr rajzolható. Ez következik abból, hogy a k-ba írt egyenlő hosszúságú húrok felezőpontjainak mértani helye egy a k-val koncentrikus k' kör, amelynek a húrok érintői. Márpedig egy külső pontból egy körhöz legfeljebb két érintő húzható.
Feladatunkban a háromszögbe írt körben három egyenlő hosszúságú húr van adva, amelyek egy közös ponton (az S súlyponton) mennek át. Ez csak úgy lehetséges, ha a közös pont a beírt kör középpontja, Tudjuk, hogy a háromszögbe írt kör O középpontja a szögfelezők metszéspontja, ami azt jelenti, hogy a súlyvonalak egyben szögfelezők is, vagyis a szögfelező felezi a szemközti oldalt, azaz a háromszög egyenlő szárú. De mivel ez mindhárom szögfelezőre igaz, a háromszög egyenlő oldalú is.
Ezzel állításunkat igazoltuk.