|
Feladat: |
N.145 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Barát Anna , Bérczi Gergely , Bujdosó Attila , Devecsery András , Felföldi Zsolt , Gerbicz Róbert , Gyenes Zoltán , Hegedűs Péter , Horváth Gábor , Hubenkó Elemér , Juhász András , Kiss Tamás , Kun Gábor , Lippner Gábor , Lukács László , Naszódi Gergely , Szabó Péter , Székelyhidi Gábor , Szűcs Gábor , Terpai Tamás , Tóth Ádám , Végh A. László |
Füzet: |
1998/január,
38 - 39. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Konstruktív megoldási módszer, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/szeptember: N.145 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mutatunk egy ilyen polinomot. Azt állítjuk, hogy az | | polinom megfelelő.
Többek között a polinom második alakjából is látható, hogy értéke nem függ , , előjelétől, hanem csak abszolút értékeiktől. Elég tehát azt igazolni, hogy egy nemnegatív , , számhármasra pontosan akkor pozitív, ha az , , hosszúságú szakaszokból háromszög szerkeszthető. Ha , , egy háromszög oldalai, akkor egyikük sem lehet 0, ezért (1)-ben az tényező pozitív, a háromszög-egyenlőtlenség szerint pedig a többi három tényező is; emiatt . Megfordítva, ha , akkor azt kell igazolnunk, hogy , , egyike sem 0, és teljesül mindhárom háromszög-egyenlőtlenség. Mivel szimmetrikus a három változóra, feltehetjük, hogy . Ebben az esetben , és triviálisan teljesül, a négy tényező közül legfeljebb csak lehetne negatív. Mivel , ez azt jelenti, hogy mind a négy tényező pozitív, vagyis a háromszög-egyenlőtlenségek teljesülnek. Ennek egyik következménye, hogy miatt , , mindegyike pozitív.
Megjegyzés. A Héron-képletben a négyzetgyök alatti kifejezés lényegében az polinom: | | Nem nehéz bebizonyítani, hogy konstans szorzótól eltekintve ez az egyetlen negyedfokú polinom, amely a feladat feltételeinek eleget tesz.
|
|