Feladat: N.145 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Bujdosó Attila ,  Devecsery András ,  Felföldi Zsolt ,  Gerbicz Róbert ,  Gyenes Zoltán ,  Hegedűs Péter ,  Horváth Gábor ,  Hubenkó Elemér ,  Juhász András ,  Kiss Tamás ,  Kun Gábor ,  Lippner Gábor ,  Lukács László ,  Naszódi Gergely ,  Szabó Péter ,  Székelyhidi Gábor ,  Szűcs Gábor ,  Terpai Tamás ,  Tóth Ádám ,  Végh A. László 
Füzet: 1998/január, 38 - 39. oldal  PDF file
Témakör(ök): Konstruktív megoldási módszer, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/szeptember: N.145

Van-e olyan f(x,y,z) valós együtthatós polinom, amely pontosan akkor pozitív, ha az |x|, |y|, |z| hosszúságú szakaszokból háromszög szerkeszthető?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mutatunk egy ilyen polinomot. Azt állítjuk, hogy az

f(x,y,z)=(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)==2x2y2+2x2z2+2y2z2-x4-y4-z4(1)
polinom megfelelő.

Többek között a polinom második alakjából is látható, hogy értéke nem függ x, y, z előjelétől, hanem csak abszolút értékeiktől. Elég tehát azt igazolni, hogy egy nemnegatív x, y, z számhármasra f(x,y,z) pontosan akkor pozitív, ha az x, y, z hosszúságú szakaszokból háromszög szerkeszthető.
Ha x, y, z egy háromszög oldalai, akkor egyikük sem lehet 0, ezért (1)-ben az x+y+z tényező pozitív, a háromszög-egyenlőtlenség szerint pedig a többi három tényező is; emiatt f(x,y,z)>0.
Megfordítva, ha f(x,y,z)>0, akkor azt kell igazolnunk, hogy x, y, z egyike sem 0, és teljesül mindhárom háromszög-egyenlőtlenség. Mivel f szimmetrikus a három változóra, feltehetjük, hogy 0xyz. Ebben az esetben x+y+z0, -x+y+z0 és x-y+z0 triviálisan teljesül, a négy tényező közül legfeljebb csak x+y-z lehetne negatív. Mivel f(x,y,z)>0, ez azt jelenti, hogy mind a négy tényező pozitív, vagyis a háromszög-egyenlőtlenségek teljesülnek. Ennek egyik következménye, hogy
xx+y-z>0 miatt x, y, z mindegyike pozitív.

 
Megjegyzés. A Héron-képletben a négyzetgyök alatti kifejezés lényegében az f polinom:
t=s(s-a)(s-b)(s-c)=116f(a,b,c).
Nem nehéz bebizonyítani, hogy konstans szorzótól eltekintve ez az egyetlen negyedfokú polinom, amely a feladat feltételeinek eleget tesz.