|
Feladat: |
F.3188 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Gerbicz Róbert , Hermann György , Izsák Rudolf , Lippner Gábor , Lukács László , Pap Júlia , Pogány Ádám , Rácz Balázs , Sarlós Ferenc , Sipos András , Tisch Dávid |
Füzet: |
1998/március,
161 - 162. oldal |
PDF file |
Témakör(ök): |
Tengelyes tükrözés, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Húrnégyszögek, Kör geometriája, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/szeptember: F.3188 |
|
Adott az középpontú kör egy pontja és egy -n átmenő egyenes. Egy -ból induló szelő a kört -ben, a -t -ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy ha a szelő körül forog, bármely helyzete esetén az , , pontokon átmenő kör -n kívül átmegy még egy fix ponton.
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen az pont tükörképe a egyenesre . Használjuk az ábrák jelöléseit. Azt fogjuk megmutatni, hogy az , , pontokon átmenő kör átmegy az ponton. A tükrözés folytán , az egyenlő szárú háromszögből pedig (1. ábra). Ezért az négyszög húrnégyszög. Ha a pont a körön kívül van (2. ábra), akkor az négyszög -nél lévő külső szöge egyenlő az -nél lévő belső szöggel, ezért ez a négyszög húrnégyszög. Az pont tehát most is pontja az , , pontokon átmenő körnek. Ha a pont -ba vagy a -re illeszkedő átmérő valamelyik végpontjába esik, akkor az , , pontokon átmenő kör határozatlan, ezért ezeket az eseteket kizárjuk. Nem engedjük meg azt sem, hogy illeszkedjék -re, hiszen a feladat szövege szerint az -ból húzott szelő metszi -t. Nem lehet továbbá olyan szelő sem, amelyik -vel párhuzamos, mert akkor nem létezik.
|
|