Feladat: F.3188 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Gerbicz Róbert ,  Hermann György ,  Izsák Rudolf ,  Lippner Gábor ,  Lukács László ,  Pap Júlia ,  Pogány Ádám ,  Rácz Balázs ,  Sarlós Ferenc ,  Sipos András ,  Tisch Dávid 
Füzet: 1998/március, 161 - 162. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Húrnégyszögek, Kör geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/szeptember: F.3188

Adott az O középpontú kör egy A pontja és egy O-n átmenő d egyenes. Egy A-ból induló szelő a kört B-ben, a d-t D-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy ha a szelő A körül forog, bármely helyzete esetén az O, B, D pontokon átmenő kör O-n kívül átmegy még egy fix ponton.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az A pont tükörképe a d egyenesre A'. Használjuk az ábrák jelöléseit. Azt fogjuk megmutatni, hogy az O, B, D pontokon átmenő kör átmegy az A' ponton. A tükrözés folytán OAD=OA'D, az AOB egyenlő szárú háromszögből pedig OAB=OBA (1. ábra). Ezért az OA'BD négyszög húrnégyszög.
Ha a D pont a körön kívül van (2. ábra), akkor az OA'DB négyszög B-nél lévő külső szöge egyenlő az A'-nél lévő belső szöggel, ezért ez a négyszög húrnégyszög. Az A' pont tehát most is pontja az O, B, D pontokon átmenő körnek.
Ha a D pont O-ba vagy a d-re illeszkedő átmérő valamelyik végpontjába esik, akkor az O, B, D pontokon átmenő kör határozatlan, ezért ezeket az eseteket kizárjuk. Nem engedjük meg azt sem, hogy A illeszkedjék d-re, hiszen a feladat szövege szerint az A-ból húzott szelő metszi d-t. Nem lehet továbbá olyan szelő sem, amelyik d-vel párhuzamos, mert akkor D nem létezik.

 Több dolgozat alapján