|
Feladat: |
F.3185 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bárány Kristóf , Boja Bence , Dályay Virág , Förhécz András , Gáli Gergely , Hermann György , Horváth János , Juhász András , Kőhalmi Dóra , Léka Zoltán , Less Áron , Lippner Gábor , Lukács László , Méder Áron , Páles Csaba , Pap Júlia , Papp Eszter , Pataki Péter , Pogány Ádám , Sipos András , Szabó Péter , Szalontay Mihály , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Vaik Zsuzsanna , Végh A. László , Zábrádi Gergely |
Füzet: |
1998/március,
158 - 160. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algebrai átalakítások, Algebra - Aritmetika, Egyéb feladványok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/szeptember: F.3185 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ha , , akkor ; tehát valóban művelet az 1-nél nem kisebb számokon. Ez a művelet kommutatív, így . Belátjuk, hogy az kifejezés -re, -ra, -re nézve szimmetrikus. | | , miatt az abszolútértékjelek között szereplő összeg nem negatív. Innen: | | és ez valóban szimmetrikus -re, -ra, -re nézve. Ebből adódik, hogy . Mivel , azért . Tehát a művelet asszociatív.
Less Áron (Miskolc, Földes F. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján |
II. megoldás. A művelet pontosan akkor asszociatív, ha bármilyen , , -nél nem kisebb számokra . A feladatot hiperbolikus függvények segítségével fogjuk megoldani. (, ) Ismert azonosságok: esetén | | Így | | ha és . A függvény értékkészlete a nemnegatív valós számokon az intervallum. Így , , esetén léteznek olyan , , valós számok, hogy , , . Ekkor | | Tehát .
Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján |
|
|