Feladat:	F.3185	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bárány Kristóf ,  Boja Bence ,  Dályay Virág ,  Förhécz András ,  Gáli Gergely ,  Hermann György ,  Horváth János ,  Juhász András ,  Kőhalmi Dóra ,  Léka Zoltán ,  Less Áron ,  Lippner Gábor ,  Lukács László ,  Méder Áron ,  Páles Csaba ,  Pap Júlia ,  Papp Eszter ,  Pataki Péter ,  Pogány Ádám ,  Sipos András ,  Szabó Péter ,  Szalontay Mihály ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Vaik Zsuzsanna ,  Végh A. László ,  Zábrádi Gergely
Füzet:	1998/március, 158 - 160. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Algebra - Aritmetika, Egyéb feladványok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/szeptember: F.3185

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Ha $x$, $y\ge 1$, akkor $x\circ y\ge 1$; tehát $x\circ y$ valóban művelet az 1-nél nem kisebb számokon. Ez a művelet kommutatív, így $x\circ \left(y\circ z\right)=\left(y\circ z\right)\circ x=\left(z\circ y\right)\circ x$. Belátjuk, hogy az $\left(x\circ y\right)\circ z$ kifejezés $x$-re, $y$-ra, $z$-re nézve szimmetrikus. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(x\circ y\right)\circ z=}\\ \hfill {\displaystyle =\left(xy+\sqrt[]{x^2-1}\sqrt[]{y^2-1}\right)z+\sqrt[]{\left({\left(xy+\sqrt[]{x^2-1}\sqrt[]{y^2-1}\right)}^2-1\right)\left(z^2-1\right)}=}\\ \hfill {\displaystyle =xyz+z\sqrt[]{x^2-1}\sqrt[]{y^2-1}+}\\ \hfill {\displaystyle +\sqrt[]{\left(x^2{y}^2+x^2{y}^2-x^2-y^2+2xy\sqrt[]{\left(x^2-1\right)}\sqrt[]{y^2-1}\right)\left(z^2-1\right)}=}\\ \hfill {\displaystyle =xyz+z\sqrt[]{x^2-1}\sqrt[]{y^2-1}+}\\ \hfill {\displaystyle +\sqrt[]{\left(x^2\left(y^2-1\right)+y^2\left(x^2-1\right)+2xy\sqrt[]{x^2-1}\sqrt[]{y^2-1}\right)\left(z^2-1\right)}=}\\ \hfill {\displaystyle =xyz+z\sqrt[]{x^2-1}\sqrt[]{y^2-1}+\sqrt[]{{\left(x\sqrt[]{y^2-1}+y\sqrt[]{x^2-1}\right)}^2\left(z^2-1\right)}=}\\ \hfill {\displaystyle =xyz+z\sqrt[]{x^2-1}\sqrt[]{y^2-1}+\left|x\sqrt[]{y^2-1}\sqrt[]{z^2-1}+y\sqrt[]{x^2-1}\sqrt[]{z^2-1}\right|}\end{array}}}\end{array}$ $x\ge 1$, $y\ge 1$ miatt az abszolútértékjelek között szereplő összeg nem negatív. Innen: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x\circ y\right)\circ z=xyz+z\sqrt[]{x^2-1}\sqrt[]{y^2-1}+y\sqrt[]{x^2-1}\sqrt[]{z^2-1}+x\sqrt[]{y^2-1}\cdot \sqrt[]{z^2-1}\mathrm{,}}\end{array}$ és ez valóban szimmetrikus $x$-re, $y$-ra, $z$-re nézve. Ebből adódik, hogy $\left(x\circ y\right)\circ z=\left(z\circ y\right)\circ x$. Mivel $x\circ \left(y\circ z\right)=\left(z\circ y\right)\circ x$, azért $\left(x\circ y\right)\circ z)=x\circ \left(y\circ z\right)$. Tehát a művelet asszociatív.  Less Áron (Miskolc, Földes F. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján   II. megoldás. A $\circ$ művelet pontosan akkor asszociatív, ha bármilyen $x$, $y$, $z$  $1$-nél nem kisebb számokra $\left(x\circ y\right)\circ z=x\circ \left(y\circ z\right)$. A feladatot hiperbolikus függvények segítségével fogjuk megoldani.  ($\text{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, $\text{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$) Ismert azonosságok: $x\ge 0$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sh}x=\sqrt[]{\text{ch}{}^{2}x-1}\mathrm{,}\text{ch}\left(x+y\right)=\text{ch}x\text{ch}y+\text{sh}x\text{sh}y\mathrm{.}}\end{array}$ Így $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{ch}u\circ \text{ch}v=\text{ch}u\text{ch}v+\sqrt[]{\text{ch}{}^{2}u-1}\sqrt[]{\text{ch}{}^{2}v-1}=\text{ch}u\text{ch}v+\text{sh}u\text{sh}v=\text{ch}\left(u+v\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ha $u\ge 0$ és $v\ge 0$. A $\text{ch}x$ függvény értékkészlete a nemnegatív valós számokon az $\left[\mathrm{1,}\infty \right)$ intervallum. Így $x\ge 1$, $y\ge 1$, $z\ge 1$ esetén léteznek olyan $a\ge 0$, $b\ge 0$, $c\ge 0$ valós számok, hogy $x=\text{ch}a$, $y=\text{ch}b$, $z=\text{ch}c$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(x\circ y\right)\circ z=\left(\text{ch}a\circ \text{ch}b\right)\circ \text{ch}c=\text{ch}\left(a+b\right)\circ \text{ch}c=\text{ch}\left(a+b+c\right)\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle x\circ \left(y\circ z\right)=\text{ch}a\circ \left(\text{ch}b\circ \text{ch}c\right)=\text{ch}a\circ \text{ch}\left(b+c\right)=\text{ch}\left(a+b+c\right)\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Tehát $\left(x\circ y\right)\circ z=x\circ \left(y\circ z\right)$.  Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján