Feladat: F.3185 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bárány Kristóf ,  Boja Bence ,  Dályay Virág ,  Förhécz András ,  Gáli Gergely ,  Hermann György ,  Horváth János ,  Juhász András ,  Kőhalmi Dóra ,  Léka Zoltán ,  Less Áron ,  Lippner Gábor ,  Lukács László ,  Méder Áron ,  Páles Csaba ,  Pap Júlia ,  Papp Eszter ,  Pataki Péter ,  Pogány Ádám ,  Sipos András ,  Szabó Péter ,  Szalontay Mihály ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Vaik Zsuzsanna ,  Végh A. László ,  Zábrádi Gergely 
Füzet: 1998/március, 158 - 160. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Algebra - Aritmetika, Egyéb feladványok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/szeptember: F.3185

Bizonyítsuk be, hogy az 1-nél nem kisebb számokra értelmezett
xy=xy+(x2-1)(y2-1)(3)
művelet asszociatív.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Ha x, y1, akkor xy1; tehát xy valóban művelet az 1-nél nem kisebb számokon. Ez a művelet kommutatív, így x(yz)=(yz)x=(zy)x.
Belátjuk, hogy az (xy)z kifejezés x-re, y-ra, z-re nézve szimmetrikus.
(xy)z==(xy+x2-1y2-1)z+((xy+x2-1y2-1)2-1)(z2-1)==xyz+zx2-1y2-1++(x2y2+x2y2-x2-y2+2xy(x2-1)y2-1)(z2-1)==xyz+zx2-1y2-1++(x2(y2-1)+y2(x2-1)+2xyx2-1y2-1)(z2-1)==xyz+zx2-1y2-1+(xy2-1+yx2-1)2(z2-1)==xyz+zx2-1y2-1+|xy2-1z2-1+yx2-1z2-1|
x1, y1 miatt az abszolútértékjelek között szereplő összeg nem negatív.
Innen:
(xy)z=xyz+zx2-1y2-1+yx2-1z2-1+xy2-1z2-1,
és ez valóban szimmetrikus x-re, y-ra, z-re nézve. Ebből adódik, hogy (xy)z=(zy)x. Mivel x(yz)=(zy)x, azért (xy)z)=x(yz). Tehát a művelet asszociatív.
 Less Áron (Miskolc, Földes F. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján

 
II. megoldás. A művelet pontosan akkor asszociatív, ha bármilyen x, y, z  1-nél nem kisebb számokra (xy)z=x(yz).
A feladatot hiperbolikus függvények segítségével fogjuk megoldani. 
(chx=ex+e-x2, shx=ex-e-x2)
Ismert azonosságok: x0 esetén
shx=ch2x-1,ch(x+y)=chxchy+shxshy.
Így
chuchv=chuchv+ch2u-1ch2v-1=chuchv+shushv=ch(u+v),
ha u0 és v0.
A chx függvény értékkészlete a nemnegatív valós számokon az [1,) intervallum.
Így x1, y1, z1 esetén léteznek olyan a0, b0, c0 valós számok, hogy x=cha, y=chb, z=chc. Ekkor
(xy)z=(chachb)chc=ch(a+b)chc=ch(a+b+c),x(yz)=cha(chbchc)=chach(b+c)=ch(a+b+c).
Tehát (xy)z=x(yz).
 Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján