Feladat: Gy.3140 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baharev Ali ,  Barát Anna ,  Bérces Márton ,  Bérczi Gergely ,  Csirmaz Előd ,  Dályay Virág ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Győri Nikolett ,  Hangya Balázs ,  Lengyel Tímea ,  Lippner Gábor ,  Naszódi Gergely ,  Szabadka Zoltán ,  Szilágyi Judit ,  Taraza Busra ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Vaik Zsuzsanna 
Füzet: 1998/március, 147 - 148. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt kör, Szögfelező egyenes, Menelaosz-tétel, Középvonal, Párhuzamos szelők tétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/május: Gy.3140

Az ABC háromszög oldalfelező pontjai a szokásos jelölésekkel A', B' és C'; a beírt körének a BC oldalon lévő érintési pontja D, középpontja pedig O. Mutassuk meg, hogy A', O és az AD és B'C' szakaszok metszéspontja egy egyenesen van. (H)
 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az AD és B'C' szakaszok metszéspontját F-fel, a BAC szög felezőjének és a háromszög BC oldalának metszéspontját E-vel, a háromszög oldalainak hosszát pedig a szokásos módon a, b, c-vel.
Ha b=c, akkor az állítás nyilvánvaló. A továbbiakban feltesszük, hogy b<c; a b>c esetben is ugyanúgy láthatnánk be az állítást. Menelaosz tételének megfordítását (lásd pl. Horvay-Reiman: Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötet, 1261. feladat) fogjuk alkalmazni az AED háromszögre és az A', O, F pontokra.
A szögfelezőtétel szerint BEEC=cb, és mivel BE+EC=a, ezért BE=acb+c és EC=abb+c. A háromszög csúcsaiból a beírt körhöz húzott érintőszakaszok BD, illetve CD, ezért BD=a+c-b2 és CD=a+b-c2. Ezekből az összefüggésekből valamint a b<c feltételből következik, hogy a B, A', E, D, C pontok az ábrán látható sorrendben helyezkednek el a BC egyenesen. Ezért

DA'A'E=-BD-BA'BE-BA'=-a+c-b2-a2acb+c-a2=-b+ca.
Az F pont rajta van az ABC háromszög B'C' középvonalán, ezért
AFFD=1.
Végül az OD szakasz merőleges BC-re, tehát párhuzamos az ABC háromszög A-hoz tartozó magasságával. Így a párhuzamos szelők tétele szerint
EOOA=ODma-OD=rma-r=2ta+b+c2ta-2ta+b+c=ab+c
(r és t az ABC háromszögbe írható kör sugarát, illetve a háromszög területét jelöli). Ezekből az egyenlőségekből kapjuk, hogy
AFFDDA'A'EEOOA=1(-b+ca)ab+c=-1,
vagyis az F, A' és O pontok egy egyenesen vannak, ami éppen a bizonyítandó állítás.
 Dályay Virág (Szeged, Radnóti M., Gimn., III. o. t.)

 
Megjegyzés. A feladatra többféle megoldás is érkezett: vektorok, koordináta-geometria, affinitás, illetve különböző tételek felhasználásával.