A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Legyen az 1, 2, , számok legkisebb közös többszöröse, és legyen minden -re. Ekkor esetén , tehát ez a konstrukció megfelelő.
b) Az állítás esetén az ellenpélda miatt nem igaz, de esetén igaz, ezt bizonyítjuk be. Legyen először , és tekintsünk egy tetszőleges, -nél nem nagyobb prímet. Két különböző és nem adhatja ugyanazt a -tól különböző maradékot -vel osztva, mert esetén . Ebből következik, hogy a -vel nem osztható -k száma legfeljebb , és a -vel osztható -k száma legalább .
Tekintsük a szorzatot. Az előbbiek szerint ha prím, akkor osztható -vel, ezért | |
De ismeretes (lásd megjegyzésünket), hogy létezik olyan pozitív konstans, amelyre tetszőleges esetén , ezért . Ha vagy , akkor . A számnak ezért választhatjuk és közül a kisebbet.
Megjegyzés. A prímszámtétel egyik formája azt mondja ki, hogy vagy másképpen, tetszőleges -ra, ha elég nagy, Ennél valamivel gyengébb alsó és felső becslést be lehet bizonyítani viszonylag egyszerű, elemi úton. Szalay Mihály: Számelmélet (Tankönyvkiadó, 1991.) c. könyvének 143‐146. oldalain megtalálható többek között annak bizonyítása, hogy esetén | | Ebből következik, hogy , ha elég nagy. Az idézett könyv 140. oldalán megtalálható 3.2. tétel szerint . Ebből nem nehéz bebizonyítani, hogy az első megoldásban szereplő szám nem nagyobb, mint , és így a b) állítás a konstanstól eltekintve éles.
|