Feladat:	F.3173	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baharev Ali ,  Barát Anna ,  Dályay Virág ,  Dedinszky Zsófia ,  Devecsery András ,  Gerbicz Róbert ,  Helesfai Gábor ,  Jakabfy Tamás ,  Juhász András ,  Kraft Nikoletta ,  Léka Zoltán ,  Lichtneckert Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Méder Áron ,  Megyeri Csaba ,  Nyul Gábor ,  Oláh Szabolcs ,  Páles Csaba ,  Papp Dávid ,  Pintér Dömötör ,  Prause István ,  Rudolf Gábor ,  Szalai-Dobos András ,  Székelyhidi Gábor ,  Szita István ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Várkonyi Péter ,  Végh László ,  Zawadowski Ádám
Füzet:	1998/február, 96 - 97. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Polinomok, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/április: F.3173

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Tegyük fel, hogy a polinomnak van $2n$ darab pozitív gyöke: ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, $\text{...}$, ${\alpha }_{2n}$. A gyökök és együtthatók közötti összefüggés szerint: ${\alpha }_1+{\alpha }_2+\text{...}+{\alpha }_{2n}=2n$ és ${\alpha }_1{\alpha }_2\text{...}{\alpha }_{2n}=1$. A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\alpha }_1+{\alpha }_2+\text{...}+{\alpha }_{2n}}{2n}\ge \sqrt[2n]{{\alpha }_1{\alpha }_2\text{...}{\alpha }_{2n}}\mathrm{.}}\end{array}$ Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha ${\alpha }_1={\alpha }_2=\text{...}={\alpha }_{2n}$. Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldalának az értéke 1, azért valóban, ${\alpha }_1={\alpha }_2=\text{...}={\alpha }_{2n}=1$. Ám a feladatbeli polinomnak nem gyöke az 1, hiszen $\begin{array}{c}{\displaystyle 1^{2n}-2n\cdot 1^{2n-1}+2n\cdot 1^{2n-2}-\text{...}+2n\cdot 1^2-2n\cdot 1+1=2-2n\ne 0.}\end{array}$ Ezzel ellentmondásra jutottunk, tehát a feladat állítását igazoltuk.   II. megoldás. Surányi László: Algebra című könyvének a 144. oldalán található 22. feladat állítása alapján, ha egy $n$-edfokú valós együtthatós polinomnak $n$ valós gyöke van, akkor együtthatóira fennáll a $2a_{n-1}\cdot a_{n-3}\le a_{n-2}^2+2a_n{a}_{n-4}$ egyenlőtlenség. ($x^i$ együtthatója $a_i$.) Ez a feladatbeli polimonra triviálisan nem teljesül, így a polinomnak még $2n$ darab valós gyöke sincs.  Lippner Gábor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján