Feladat: F.3173 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baharev Ali ,  Barát Anna ,  Dályay Virág ,  Dedinszky Zsófia ,  Devecsery András ,  Gerbicz Róbert ,  Helesfai Gábor ,  Jakabfy Tamás ,  Juhász András ,  Kraft Nikoletta ,  Léka Zoltán ,  Lichtneckert Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Méder Áron ,  Megyeri Csaba ,  Nyul Gábor ,  Oláh Szabolcs ,  Páles Csaba ,  Papp Dávid ,  Pintér Dömötör ,  Prause István ,  Rudolf Gábor ,  Szalai-Dobos András ,  Székelyhidi Gábor ,  Szita István ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Várkonyi Péter ,  Végh László ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1998/február, 96 - 97. oldal  PDF file
Témakör(ök): Polinomok, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/április: F.3173

Bizonyítsuk be, hogy az
x2n-2nx2n-1+2nx2n-2-2nx2n-3+...+2nx2-2nx+1(3)
polinomnak nem lehet 2n darab pozitív gyöke, ha n2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Tegyük fel, hogy a polinomnak van 2n darab pozitív gyöke: α1, α2, ..., α2n. A gyökök és együtthatók közötti összefüggés szerint: α1+α2+...+α2n=2n és α1α2...α2n=1. A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján:
α1+α2+...+α2n2nα1α2...α2n2n.
Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha α1=α2=...=α2n. Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldalának az értéke 1, azért valóban, α1=α2=...=α2n=1.
Ám a feladatbeli polinomnak nem gyöke az 1, hiszen
12n-2n12n-1+2n12n-2-...+2n12-2n1+1=2-2n0.
Ezzel ellentmondásra jutottunk, tehát a feladat állítását igazoltuk.
 
II. megoldás. Surányi László: Algebra című könyvének a 144. oldalán található 22. feladat állítása alapján, ha egy n-edfokú valós együtthatós polinomnak n valós gyöke van, akkor együtthatóira fennáll a 2an-1an-3an-22+2anan-4 egyenlőtlenség. (xi együtthatója ai.) Ez a feladatbeli polimonra triviálisan nem teljesül, így a polinomnak még 2n darab valós gyöke sincs.
 Lippner Gábor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján