Feladat:	F.3167	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Czirok Levente ,  Devecsery András ,  Gál Tamás ,  Gyenes Zoltán ,  Hangya Balázs ,  Hegedűs Péter ,  Horváth András ,  Juhász András ,  Katona Zsolt ,  Léka Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Megyeri Csaba ,  Nagy István ,  Oláh Szabolcs ,  Pataki Péter ,  Pintér Dömötör ,  Prause István ,  Rudolf Gábor ,  Serény András ,  Szalai-Dobos András ,  Szita István ,  Taraza Busra ,  Vaik Zsuzsanna ,  Várady Gergő ,  Várkonyi Péter
Füzet:	1998/február, 96. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Binomiális együtthatók, Oszthatósági feladatok, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/március: F.3167

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1}\right)-1=\frac{\left(p+1\right)\left(p+2\right)\text{...}\left(p+p-1\right)-\left(p-1\right)!}{\left(p-1\right)!}}\end{array}$ (1) A feladat állításához elég bizonyítani, hogy (1) számlálója osztható $p^2$-tel, hiszen ha $\left(p-1\right)!\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1}\right)-1\right)$ osztható $p^2$-tel, akkor $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1}\right)-1$ is, mivel $p^2$ és $\left(p-1\right)!$ relatív prímek. Nézzük tehát (1) számlálójának első tagját: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(p+1\right)\left(p+2\right)\text{...}\left(p+p-1\right)=\prod _{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(p+i\right)\text{...}\left(p+\left(p-i\right)\right)=}\\ \hfill {\displaystyle =\prod _{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(2p^2+i\left(p-i\right)\right)\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Mivel a $p^2$-tel való oszthatóságot vizsgáljuk, a fenti szorzatnak elég a $p^2$-tel vett maradékát tekinteni, ez pedig $\prod _{i=1}^{\frac{p-1}{2}}i\left(p-i\right)=\left(p-1\right)!$. Tehát $\left(p+1\right)\left(p+2\right)\text{...}\left(p+p-1\right)-\left(p-1\right)!$ valóban osztható $p^2$-tel.  Vaik Zsuzsanna (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján