Feladat: F.3167 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Czirok Levente ,  Devecsery András ,  Gál Tamás ,  Gyenes Zoltán ,  Hangya Balázs ,  Hegedűs Péter ,  Horváth András ,  Juhász András ,  Katona Zsolt ,  Léka Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Megyeri Csaba ,  Nagy István ,  Oláh Szabolcs ,  Pataki Péter ,  Pintér Dömötör ,  Prause István ,  Rudolf Gábor ,  Serény András ,  Szalai-Dobos András ,  Szita István ,  Taraza Busra ,  Vaik Zsuzsanna ,  Várady Gergő ,  Várkonyi Péter 
Füzet: 1998/február, 96. oldal  PDF file
Témakör(ök): Binomiális együtthatók, Oszthatósági feladatok, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/március: F.3167

Bizonyítsuk be, hogy ha p páratlan prím, akkor (2p-1p-1)-1 osztható p2-tel!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(2p-1p-1)-1=(p+1)(p+2)...(p+p-1)-(p-1)!(p-1)!(1)
A feladat állításához elég bizonyítani, hogy (1) számlálója osztható p2-tel, hiszen ha (p-1)!((2p-1p-1)-1) osztható p2-tel, akkor (2p-1p-1)-1 is, mivel p2 és (p-1)! relatív prímek. Nézzük tehát (1) számlálójának első tagját:
(p+1)(p+2)...(p+p-1)=i=1p-12(p+i)...(p+(p-i))==i=1p-12(2p2+i(p-i)).
Mivel a p2-tel való oszthatóságot vizsgáljuk, a fenti szorzatnak elég a p2-tel vett maradékát tekinteni, ez pedig i=1p-12i(p-i)=(p-1)!.
Tehát (p+1)(p+2)...(p+p-1)-(p-1)! valóban osztható p2-tel.
 Vaik Zsuzsanna (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján