|
Feladat: |
F.3162 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Barát Anna , Bérczi Gergely , Brezovich László , Dályay Virág , Dedinszky Zsófia , Devecsery András , Fejérvári Bence , Gál Tamás , Hangya Balázs , Horváth Gábor , Jeszenszky Gyula , Juhász András , Katona Zsolt , Lázár Zsófia , Léka Zoltán , Lippner Gábor , Mátyási István , Méder Áron , Nagy István , Páles Csaba , Patakfalvi Zsolt , Pintér Dömötör , Prause István , Rudolf Gábor , Szabó Péter , Szalai-Dobos András , Szita István , Szűcs Gábor , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Varga Áron , Várkonyi Péter , Végh A. László , Zawadowski Ádám |
Füzet: |
1998/február,
95 - 96. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Legnagyobb közös osztó, Oszthatósági feladatok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/február: F.3162 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint: így , ; ezért szükségképpen . Jelöljük és legnagyobb közös osztóját -vel; és , ahol és relatív prímek. Ezt az eredeti egyenletbe behelyettesítve kapjuk: rendezve | | (1) | Tegyük fel, hogy , azaz létezik olyan prím, amely osztja -t. Ekkor osztója a fenti egyenlet jobb oldalának, tehát a bal oldalának is. Ez csak úgy lehet, ha osztója -nek, vagyis osztója -nak. Így -nak és -nek van közös prímosztója, ez pedig ellentmondás. Innen , és hasonlóan bizonyítható, hogy . Ekkor (1) a következőképpen alakul: A ezért csak 2-hatvány lehet; legyen . Behelyettesítve: , azaz . és relatív prímek, egész, így osztja -t; legyen . Ekkor ; tehát a feladatnak csak páros -re van megoldása, és minden megoldás , alakú, ahol .
Páles Csaba (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján |
|
|