Kezdőlap


Feladat:	F.3162	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barát Anna , Bérczi Gergely , Brezovich László , Dályay Virág , Dedinszky Zsófia , Devecsery András , Fejérvári Bence , Gál Tamás , Hangya Balázs , Horváth Gábor , Jeszenszky Gyula , Juhász András , Katona Zsolt , Lázár Zsófia , Léka Zoltán , Lippner Gábor , Mátyási István , Méder Áron , Nagy István , Páles Csaba , Patakfalvi Zsolt , Pintér Dömötör , Prause István , Rudolf Gábor , Szabó Péter , Szalai-Dobos András , Szita István , Szűcs Gábor , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Varga Áron , Várkonyi Péter , Végh A. László , Zawadowski Ádám
Füzet:	1998/február, 95 - 96. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Legnagyobb közös osztó, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/február: F.3162

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint:

\begin{matrix} \frac{x^{2} + y^{2}}{2} \geq x y, \end{matrix}

így

{(x y)}^{z} = {(x^{2} + y^{2})}^{m} \geq 2^{m} {(x y)}^{m}

{(x y)}^{\frac{z - m}{m}} \geq 2

; ezért szükségképpen

z > m

. Jelöljük

x

és

y

legnagyobb közös osztóját

d

-vel;

x = a d

és

y = b d

, ahol

a

és

b

relatív prímek. Ezt az eredeti egyenletbe behelyettesítve kapjuk:

\begin{matrix} {(a^{2} d^{2} + b^{2} d^{2})}^{m} = {(a b d^{2})}^{z}, \end{matrix}

rendezve

\begin{matrix} {(a^{2} + b^{2})}^{m} = {(a b)}^{z} d^{2 (z - m)} . \end{matrix}

(1)

Tegyük fel, hogy

a \neq 1

, azaz létezik olyan

p

prím, amely osztja

a

-t. Ekkor

p

osztója a fenti egyenlet jobb oldalának, tehát a bal oldalának is. Ez csak úgy lehet, ha

p

osztója

(a^{2} + b^{2})

-nek, vagyis

p

osztója

b

-nak. Így

a

-nak és

b

-nek van közös prímosztója, ez pedig ellentmondás. Innen

a = 1

, és hasonlóan bizonyítható, hogy

b = 1

.
Ekkor (1) a következőképpen alakul:

\begin{matrix} 2^{m} = d^{2 (z - m)} . \end{matrix}

d

ezért csak 2-hatvány lehet; legyen

d = 2^{k}

. Behelyettesítve:

m = 2 (z - m) k

, azaz

m = \frac{2 k}{1 + 2 k} z

2 k

és

1 + 2 k

relatív prímek,

m

egész, így

1 + 2 k

osztja

z

-t; legyen

z = (1 + 2 k) n

. Ekkor

m = 2 k n

; tehát a feladatnak csak páros

m

-re van megoldása, és minden megoldás

x = y = 2^{k}

z = (1 + 2 k) n

alakú, ahol

m = 2 k n

Páles Csaba (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján