Feladat: F.3162 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Brezovich László ,  Dályay Virág ,  Dedinszky Zsófia ,  Devecsery András ,  Fejérvári Bence ,  Gál Tamás ,  Hangya Balázs ,  Horváth Gábor ,  Jeszenszky Gyula ,  Juhász András ,  Katona Zsolt ,  Lázár Zsófia ,  Léka Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Mátyási István ,  Méder Áron ,  Nagy István ,  Páles Csaba ,  Patakfalvi Zsolt ,  Pintér Dömötör ,  Prause István ,  Rudolf Gábor ,  Szabó Péter ,  Szalai-Dobos András ,  Szita István ,  Szűcs Gábor ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Varga Áron ,  Várkonyi Péter ,  Végh A. László ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1998/február, 95 - 96. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Legnagyobb közös osztó, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/február: F.3162

Legyen m adott pozitív egész. Keressük meg az (x2+y2)m=(xy)z egyenlet összes pozitív egész megoldását.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint:

x2+y22xy,
így (xy)z=(x2+y2)m2m(xy)m, (xy)z-mm2; ezért szükségképpen z>m. Jelöljük x és y legnagyobb közös osztóját d-vel; x=ad és y=bd, ahol a és b relatív prímek. Ezt az eredeti egyenletbe behelyettesítve kapjuk:
(a2d2+b2d2)m=(abd2)z,
rendezve
(a2+b2)m=(ab)zd2(z-m).(1)
Tegyük fel, hogy a1, azaz létezik olyan p prím, amely osztja a-t. Ekkor p osztója a fenti egyenlet jobb oldalának, tehát a bal oldalának is. Ez csak úgy lehet, ha p osztója (a2+b2)-nek, vagyis p osztója b-nak. Így a-nak és b-nek van közös prímosztója, ez pedig ellentmondás. Innen a=1, és hasonlóan bizonyítható, hogy b=1.
Ekkor (1) a következőképpen alakul:
2m=d2(z-m).
A d ezért csak 2-hatvány lehet; legyen d=2k. Behelyettesítve: m=2(z-m)k, azaz
m=2k1+2kz. 2k és 1+2k relatív prímek, m egész, így 1+2k osztja z-t; legyen z=(1+2k)n. Ekkor m=2kn; tehát a feladatnak csak páros m-re van megoldása, és minden megoldás x=y=2k, z=(1+2k)n alakú, ahol m=2kn.
 Páles Csaba (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján