Kezdőlap


Feladat:	F.3155	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barát Anna , Bérczi Gergely , Hangya Balázs , Horváth Gábor , Juhász András , Lippner Gábor , Méder Áron , Megyeri Csaba , Metz Balázs , Páles Csaba , Patakfalvi Zsolt , Pintér Dömötör , Szita István , Szűcs Gábor , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Zawadowski Ádám
Füzet:	1998/február, 94 - 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/január: F.3155

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $[1^{2} + 1, 2^{2} + 2)$ , $[2^{2} + 2, 3^{2} + 3)$ , $[3^{2} + 3, 4^{2} + 4)$ , $...$ intervallumok valamelyike tartalmazza $p$ -t. Legyen ez az intervallum $[x^{2} + x, {(x + 1)}^{2} + (x + 1))$ . Ekkor $x^{2} + x \leq p < {(x + 1)}^{2} + (x + 1)$ .
Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor $p < x^{2} + 2 x$ . Ebben az esetben $a = x$ és $b = p - x^{2} - x$ eleget tesz a feladat feltételeinek: $a = x = x^{2} + 2 x - (x^{2} + x) > p - x^{2} - x = b$ miatt $1 < p - a^{2} < p - b^{2}$ , továbbá $(p - a^{2})$ osztója $(p - b^{2})$ -nek, mert

\begin{matrix} p - b^{2} = p - {(p - a^{2} - a)}^{2} = {(p - a)}^{2} (- p + a^{2} + 2 a + 1) . \end{matrix}

Tekintsük ezután az

x^{2} + 2 x \leq p < {(x + 1)}^{2} + (x + 1)

esetet. Mivel

p

5-nél nagyobb prím, nem lehet

x (x + 2)

és

{(x + 1)}^{2}

alakú, így

\begin{matrix} {(x + 1)}^{2} + 1 \leq p < {(x + 1)}^{2} + (x + 1) . \end{matrix}

p = {(x + 1)}^{2} + 1

, akkor

a = x

és

b = 1

megfelel. Ekkor ugyanis

p - a^{2} = 2 (x + 1)

és

p - b^{2} = {(x + 1)}^{2}

; a

p

páratlan volta miatt

x + 1

páros, így

(p - a^{2})

osztója

(p - b^{2})

-nek.
Ha

{(x + 1)}^{2} + 2 \leq p < {(x + 1)}^{2} + (x + 1)

, akkor válasszuk

a

-t

(x + 1)

-nek. Legyen

b

a

-nak

(p - a^{2})

-tel való osztási maradéka, ha

a

nem osztható

{(p - a)}^{2}

-tel, különben pedig legyen

b = p - a^{2}

. Ekkor

\begin{matrix} b \leq p - a^{2} < {(x + 1)}^{2} + (x + 1) - {(x + 1)}^{2} = a \end{matrix}

miatt

1 < p - a^{2} < p - b^{2}

;

(p - b^{2})

osztható

(p - a^{2})

-tel, mert

\begin{matrix} p - b^{2} = p - a^{2} + (a - b) (a + b), \end{matrix}

és

a - b

b

definíciója miatt osztható

(p - a^{2})

-tel.

Megjegyzés. A feladat kitűzésében

(p - b^{2})

helyett

{(p - b)}^{2}

-et írtunk. A sajtóhibát szerencsére észrevették a megoldók.