Feladat: F.3155 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Hangya Balázs ,  Horváth Gábor ,  Juhász András ,  Lippner Gábor ,  Méder Áron ,  Megyeri Csaba ,  Metz Balázs ,  Páles Csaba ,  Patakfalvi Zsolt ,  Pintér Dömötör ,  Szita István ,  Szűcs Gábor ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1998/február, 94 - 95. oldal  PDF file
Témakör(ök): Prímszámok, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/január: F.3155

Legyen p  5-nél nagyobb prímszám. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan a, b pozitív egészek, amelyekre 1<p-a2<p-b2, és (p-a2) osztója (p-b)2-nek.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az [12+1,22+2), [22+2,32+3), [32+3,42+4), ... intervallumok valamelyike tartalmazza p-t. Legyen ez az intervallum [x2+x,(x+1)2+(x+1)). Ekkor x2+xp<(x+1)2+(x+1).
Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor p<x2+2x. Ebben az esetben a=x és b=p-x2-x eleget tesz a feladat feltételeinek: a=x=x2+2x-(x2+x)>p-x2-x=b miatt 1<p-a2<p-b2, továbbá (p-a2) osztója (p-b2)-nek, mert

p-b2=p-(p-a2-a)2=(p-a)2(-p+a2+2a+1).
Tekintsük ezután az x2+2xp<(x+1)2+(x+1) esetet. Mivel p  5-nél nagyobb prím, nem lehet x(x+2) és (x+1)2 alakú, így
(x+1)2+1p<(x+1)2+(x+1).
Ha p=(x+1)2+1, akkor a=x és b=1 megfelel. Ekkor ugyanis p-a2=2(x+1) és p-b2=(x+1)2; a p páratlan volta miatt x+1 páros, így (p-a2) osztója (p-b2)-nek.
Ha (x+1)2+2p<(x+1)2+(x+1), akkor válasszuk a-t (x+1)-nek. Legyen b az a-nak (p-a2)-tel való osztási maradéka, ha a nem osztható (p-a)2-tel, különben pedig legyen b=p-a2. Ekkor
bp-a2<(x+1)2+(x+1)-(x+1)2=a
miatt 1<p-a2<p-b2; (p-b2) osztható (p-a2)-tel, mert
p-b2=p-a2+(a-b)(a+b),
és a-b a b definíciója miatt osztható (p-a2)-tel.
 
Megjegyzés. A feladat kitűzésében (p-b2) helyett (p-b)2-et írtunk. A sajtóhibát szerencsére észrevették a megoldók.