Feladat:	3260. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bankó Krisztián ,  Gajdos Béla ,  Szima Ernö
Füzet:	2000/május, 309. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Gömbkondenzátor, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/május: 3260. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A fémgömböket összeérintve a potenciáljuk egyenlő lesz, a rajtuk levő össztöltés tehát mindig ugyanolyan (a kapacitásuknak megfelelő) arányban oszlik meg közöttük. Ez az $\alpha$ arány az első összeérintés előtti és utáni adatokból számítható ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha =\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha a második összeérintéskor $Q_3$ töltés kerül a második fémgömbre, akkor fennáll $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha =\frac{Q_2+Q_3}{Q_1-Q_3}\mathrm{,}\text{ahonnan}{Q}_3=\frac{Q_2}{Q_1}{Q}_2\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonlóan számítható, hogy az $n$-edik összeérintés során átadott töltés $\begin{array}{c}{\displaystyle Q_{n+1}={\left(\frac{Q_2}{Q_1}\right)}^{n-1}{Q}_2\mathrm{,}}\end{array}$ a második fémgömbre kerülő össztöltés pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle Q=Q_2\left[1+\left(\frac{Q_2}{Q_1}\right)+{\left(\frac{Q_2}{Q_1}\right)}^2+{\left(\frac{Q_2}{Q_1}\right)}^3+\text{...}\right]\mathrm{.}}\end{array}$ Ennek a végtelen mértani sornak az összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle Q=\frac{1}{1-\left(Q_2/Q_1\right)}{Q}_2=\frac{Q_1{Q}_2}{Q_1-Q_2}\mathrm{.}}\end{array}$  Szima Ernő (Debrecen, Tóth Á. Gimn., 11. o.t.)   II. megoldás. Egy fémtest $U$ elektromos potenciálja a fémen levő $Q$ töltéssel arányos: $Q/U=C$ az adott fémtestre jellemző állandó (a test kapacitása). Két fémtest összeérintésekor a potenciálok kiegyenlítődnek. Ez a fémgömbök első összeérintéskor is teljesült, tehát fennállt, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{Q_1-Q_2}{C_1}=\frac{Q_2}{C_2}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $C_1$ az első, $C_2$ pedig a második test kapacitása. A második gömbre akkor nem tudunk már több töltést felvinni, ha a rajta levő $Q$ töltés mellett akkora a potenciálja, mint az első testnek $Q_1$ töltésen: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{Q_1}{C_1}=\frac{Q}{C_2}\mathrm{.}}\end{array}$ A fenti két egyenletet elosztva egymással a keresett $Q$ töltésre $Q_1{Q}_2/\left(Q_1-Q_2\right)$ adódik.  Bankó Krisztián (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn, 11. o.t.) és    Gajdos Béla (Beregszász, Bethlen G. Gimn, 11. o.t.) dolgozata alapján