Feladat: 3312. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gajdos Béla 
Füzet: 2000/december, 560 - 561. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb ellenállás-kapcsolások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/január: 3312. fizika feladat

 

Egy végtelen négyzetháló minden éle R ellenállású. Két szomszédos rácspont közül kivesszük az R ellenállást. Mekkora lesz e két rácspont között az eredő ellenállás?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először vizsgáljuk meg, hogy mekkora az eredő ellenállás egy szabályos, végtelen négyzetháló két szomszédos A és B rácspontja között. Vezessünk az A pontba I áramot, és nagyon messze (a ,,végtelenben'') vezessük el azt. Az áram az A pontban szimmetrikusan (négyfele) szétoszlik, így B irányában I/4 erősségű áram halad. Ismételjük meg a kísérletet most úgy, hogy a B pontból vezetünk el I áramot. A szimmetria miatt most is I/4 erős áram fog folyni A pontból B-be.
Ha egyszerre vezetünk oda, illetve el I áramot az A és B pontoknál, a két pont között az áramerősség

14I+14I=12I
lesz, az R ellenálláson U=12IR feszültség esik, az eredő ellenállás tehát ezen két pont között 12R.
Térjünk vissza most a hiányos áramkörhöz! Jelöljük a keresett (A és B között mérhető) ellenállás nagyságát r-rel. Ha r-rel párhuzamosan kapcsolunk egy R ellenállást, a fentebb számított végtelen (szabályos) négyzetháló 12R értékét kell megkapjuk:
1r+1R=2R,
ahonnan r=R adódik. A hiányos háló eredő ellenállása tehát éppen akkora, mint egyetlen (teli) élének ellenállása.
 Gajdos Béla (Beregszász, Bethlen G. Gimn., 12. o.t.)