Kezdőlap


Feladat:	3156. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kocsis Bence , Kovács István , Nemes Edit , Németh Péter , Sarlós Ferenc , Steib Roland , Végh A. László
Füzet:	1998/december, 559 - 560. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Bolygómozgás, Kepler törvények, Mesterséges holdak, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/április: 3156. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mesterséges hold pályája Kepler I. törvénye szerint egy olyan ellipszis, melynek egyik fókuszpontja a bolygó középpontja. Az 1. ábráról leolvasható, hogy visszaérkezéskor a sebességvektor akkor lesz párhuzamos (és ellentétes irányú) a kilövés sebességével, ha a kilövési és a visszaérkezési pontok az ellipszis kistengelyének végpontjai. Ekkor viszont az ellipszis $2 a$ nagytengelye éppen a bolygó sugarának kétszerese kell legyen, tehát $a = R$ .
Kepler III. törvénye értelmében a keringési idők különböző lapultságú, de azonos nagytengelyű pályákon ugyanakkorák, tehát a szóban forgó ellipszispályán is a teljes keringési idő a megadott $T_{0}$ -lal lenne egyenlő. A műhold azonban csak a pálya felét teszi meg. Az ehhez szükséges idő nem a keringési idő fele, hanem (Kepler II. törvénye szerint) a vezérsugár által súrolt területtel arányos. Mivel az ellipszis teljes területe

\begin{matrix} A_{0} = a b π = a^{2} π sin \frac{α}{2}, \end{matrix}

a pálya fele alatt súrolt terület pedig

\begin{matrix} A_{1} = a b π / 2 + b c = \frac{1}{2} a^{2} π sin \frac{α}{2} + a^{2} sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2} . \end{matrix}

A kérdéses idő tehát

\begin{matrix} T_{1} = \frac{A_{1}}{A_{0}} T_{0} = T_{0} (\frac{1}{2} + \frac{cos \frac{α}{2}}{π}) . \end{matrix}

A műhold a bolygó felszínétől legfeljebb

\begin{matrix} 2 a - a - (a - c) = c = R cos \frac{α}{2} \leq R \end{matrix}

távolságra juthat el.

Végh A. László (Debrecen, Fazekas M. Gimn.,11. o.t.)

dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Érdekes, hogy

α \to 0

határesetben

T_{1} \to T_{0} (\frac{1}{2} + \frac{1}{π}),

a felszíntől való legnagyobb eltávolódás pedig

R

-hez tart, míg

α = 0

esetén tetszőleges kilövési sebesség megfelelő, és a eltávolodás nagysága is akármilyen nagy vagy kicsi lehet. Ezek a mennyiségek tehát nem folytonos függvényei

α

-nak az

α = 0

pontban.
2. Ha a kilövési sebesség elegendően nagy, legalább az első kozmikus sebességgel egyenlő, akkor a 2. ábrán látható pálya valósul meg. A visszaérkezési sebesség most is párhuzamos a kilövési sebességgel, még az irányuk is megegyezik. A bolyótól való eltávolodás tetszőlegesen nagy lehet, a repülés ideje legalább

T_{0}

, s mindez az

α = 0

szögtávolság speciális esetének felel meg.

Kovács István (Mezőkövesd, Szent László Gimn., 12. o.t.)

3. Figyelemre méltó, hogy a feladat elemi megoldásához egyszerre kellett alkalmaznunk Kepler mindhárom törvényét.