A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. P. 158. Írjuk egy (elég hosszú) papírcsikra az első természetes szám tízes számrendszerbeli alakját, majd vágjuk szét a papírcsíkot úgy, hogy mindegyik darabján csak egy számjegy legyen. Tegyük e darabokat egy dobozba, keverjük össze őket és húzzunk ki egyet találomra közülük. Jelöljük -nel annak a valószínűségét, hogy a kihúzott papírdarabon a 0 számjegy van rajta. Határozzuk meg a sorozat határértékét. Erre a problémára az érkezett dolgozatok egyike sem megoldás. Emiatt a szerkesztőbizottság úgy határozott, hogy a probléma tartalmát más fogalmazásban újra kitűzi. Ez lett az F. 1883. feladat. Megoldása ezen szám 61. oldalán olvasható. Megoldás. Jelöljük tizes számrendszerbeli alakjában a jegyek számát -val. Egészítsük ki képzeletben az -nél kisebb számok tizes számrendszerbeli alakját -jegyűvé úgy, hogy a hiányzó jegyek helyére 0-t írunk, és írjuk a sorozat elé a db 0-val felírt 0-t. Jelöljük a közben leírt 0-k számát -val. A kiegészítés után minden leírt számban jegy van, tehát számban a jegyek száma, és erre hiszen , mihelyt . A kiegészítés során az egyesek helyére egyetlen 0 jegyet írtunk, a tízesek helyére tíz 0-t írtunk, és így tovább, végül az első oszlopba, a értékű helyre -ig kellett 0-kat írni. Eszerint | | tehát hiszen . Jelöljük a kiegészítés után az összes 0 jegyek számát -nel, a helyi értékű pozícióban levő 0-k számát -vel. E jelölések definíciója szerint
Az egyesek oszlopában egy 0 után kilenc 0-tól különböző jegy áll, és ez ciklikusan ismétlődik. Emiatt A tízesek oszlopában tíz db 0 után kilencven db 0-tól különböző jegy következik, és ez ciklikusan ismétlődik, tehát Általában a helyi értékű számjegyek sorozata db 0-val kezdődik; utánuk db 0-tól különböző jegy következik, és ez ciklikusan ismétlődik, tehát Összegezve ezeket az egyenlőtlenségeket, kapjuk, hogy | |
Felhasználva a (3) és (4) összefüggéseket, kapjuk, hogy
A (2) és (3) összefüggések szerint hasonlóan egyrészt | | másrészt Ezek alapján a hányadosra írhatunk fel korlátokat: | |
Itt mindkét oldal határértéke 1/10, hiszen -nel együtt is tart a végtelenbe. Ez valóban így van, hiszen tetszőlegesen nagy számhoz van olyan , hogy , minden -nél nagyobb természetes számra ‐ szerepére ugyanis választhatjuk akármelyik -jegyű számot. ‐ A feladat állítását ezzel bebizonyítottuk. |