Feladat: C.374 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bagdi Szilvia ,  Borbély Erzsébet ,  Bujdosó Ildikó ,  Csabina Tamás ,  Csák Péter ,  Csibi Attila ,  Dévényi Eszter ,  Domán Gábor ,  Dósa Ferenc ,  Egyed Gábor ,  Gerdán Csongor ,  Gulyás Erika ,  Gyarmati Csaba ,  Hiller Henrik ,  Hímer Zsuzsanna ,  Honvári István ,  Horváth Imre ,  Huszár Gergely ,  Klutsch Örs ,  Kocsis Pál ,  Kovács Helga Zita ,  Lőrinczi Ferenc ,  Majlender Péter ,  Máthé Tamás ,  Méder Áron ,  Mihálffy Tamás ,  Moldoványi Nóra ,  Nagy Andrea ,  Nagy Margit ,  Nagy Tamás ,  Pastyik Noémi ,  Schumayer Dániel ,  Sebők Tamás ,  Szabó Gábor ,  Szedmák Diána ,  Vaik Zsuzsanna ,  Végh László ,  Vígh Anikó ,  Zaupper Bence ,  Zsók Izabella 
Füzet: 1995/május, 272 - 273. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenlőtlenségek, Gyökös függvények, Függvényvizsgálat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/november: C.374

Oldjuk meg az 1+14-xlog2(x-2) egyenlőtlenséget a valós számok halmazán.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldalon álló függvény csak akkor értelmezett, ha x14, a jobb oldali, ha x>2. A megoldást tehát a 2<x14 intervallumban kell keresnünk.
Egyenlőség például akkor állhat fenn, ha a jobb oldalon (x-2)  2-nek valamilyen (egész kitevőjű) hatványa, és a bal oldalon a gyökjel alatt álló 14-x teljes négyzet. A (2;14] intervallumba eső 2-hatványok a 4 és a 8. Ha x-2=4, akkor x=6 és 14-6=8 nem teljes négyzet.
Ha pedig x-2=8, akkor x=10 és 14-10=4 teljes négyzet, és ez valóban megoldása az egyenletnek.
Mivel a (2;14] intervallumban a bal oldali függvény szigorúan monoton fogy, a log2(x-2) pedig szigorúan monoton nő, más helyen nem állhat fenn egyenlőség.
Rajzoljuk fel a függvények grafikonját.
A  grafikonokról  leolvashatjuk,
hogy az egyenlőtlenség pontosan akkor áll fenn, ha 2<x10.

 
Megjegyzés. Sokan csak a függvények grafikonját rajzolták meg, és innen próbálták leolvasni az eredményt, minden indoklás nélkül. Ezek a dolgozatok hiányosak, csak 2 pontot érnek. Ugyancsak hiányosak azok is, amelyek az egyenlőség helyének (x=10) megtalálásán kívül nem említették a két oldal eltérő monotonitását.