Kezdőlap


Feladat:	N.52	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Pap Gyula , Póczos Barnabás , Tóth Gábor Zsolt , Valkó Benedek
Füzet:	1995/április, 230 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Különleges függvények, Függvények, Konstruktív megoldási módszer, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/december: N.52

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $φ_{1}$ olyan függvény, amely a valós számokat a $(0; 1)$ intervallumba képezi injektíven (azaz az értékei különbözőek legyenek). Ilyen függvény létezik, például $φ_{1} (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} arc tg x$ . Legyen továbbá $φ_{2} (x) = x + 1$ .
Tekintsük most a

\begin{matrix} \begin{matrix} g_{0} (x) & = φ_{1} (x), \\ g_{1} (x) & = φ_{2} (φ_{1} (x)), \\ g_{2} (x) & = φ_{2} (φ_{2} (φ_{1} (x))), \\ ⋮ \\ g_{n} (x) & = φ_{2} (... φ_{2} (φ_{1} (x)) ...), \\ ⋮ \end{matrix} \end{matrix}

függvényeket. (A

g_{n}

-ben tehát egyszer alkalmazzuk

φ_{1}

-et, majd

n

-szer

φ_{2}

-t.) A

g_{n}

függvény a valós számokat injektíven képezi az

(n; n + 1)

intervallumba. Ezek az intervallumok diszjunktak, ezért a

g_{1}, g_{2}, ...

függvények minden valós számot összesen legfeljebb egyszer vesznek fel.
A

φ_{3}

függvényt ezután úgy választjuk, hogy (minden

n

-re)

φ_{3} (g_{n} (x)) = f_{n} (x)

legyen, azaz legyen

φ_{3}

értelmezési tartománya

g_{1}, g_{2}, ...

értékkészletének uniója és

\begin{matrix} φ_{3} (x) = f_{[x]} (g_{[x]}^{- 1} (x)) . \end{matrix}

φ_{4}, ..., φ_{1994}

függvényekre nincs szükség, ezeket bárminek választhatjuk.