Feladat: N.52 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Pap Gyula ,  Póczos Barnabás ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1995/április, 230 - 231. oldal  PDF file
Témakör(ök): Különleges függvények, Függvények, Konstruktív megoldási módszer, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/december: N.52

Legyen f1, f2, ... a valós számokon értelmezett valós értékű függvények egy tetszőleges (végtelen) sorozata. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan φ1, φ2, ..., φ1994 függvények, amelyekből bármelyik fn előállítható úgy, hogy néhányukat (akár ismétléssel) valamilyen sorrendben egymás után alkalmazzuk.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen φ1 olyan függvény, amely a valós számokat a (0;1) intervallumba képezi injektíven (azaz az értékei különbözőek legyenek). Ilyen függvény létezik, például φ1(x)=12+1πarctgx. Legyen továbbá φ2(x)=x+1.
Tekintsük most a

g0(x)=φ1(x),g1(x)=φ2(φ1(x)),g2(x)=φ2(φ2(φ1(x))),gn(x)=φ2(...φ2(φ1(x))...),
függvényeket. (A gn-ben tehát egyszer alkalmazzuk φ1-et, majd n-szer φ2-t.) A gn függvény a valós számokat injektíven képezi az (n;n+1) intervallumba. Ezek az intervallumok diszjunktak, ezért a g1,g2,... függvények minden valós számot összesen legfeljebb egyszer vesznek fel.
A φ3 függvényt ezután úgy választjuk, hogy (minden n-re) φ3(gn(x))=fn(x) legyen, azaz legyen φ3 értelmezési tartománya g1,g2,... értékkészletének uniója és
φ3(x)=f[x](g[x]-1(x)).

A φ4,...,φ1994 függvényekre nincs szükség, ezeket bárminek választhatjuk.