Kezdőlap


Feladat:	N.43	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Burcsi Péter , Dombi Gergely , Elek Péter , Farkas Péter , Gyarmati Katalin , Izsák Ferenc , Kiss Márton , Pap Gyula , Perényi Márton , Póczos Barnabás , Prohoveau Cornel , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Tóth Gábor Zsolt , Újváry-Menyhárt Mónika , Valkó Benedek
Füzet:	1995/április, 226 - 227. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Különleges függvények, Számelméleti függvények, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/október: N.43

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $k = 1$ , akkor $f (n) = 3 n$ , és így $f$ értékkészletét a 3-mal osztható természetes számok alkotják.
Legyen most $k \geq 2$ rögzített, és írjuk az $n$ -et $x^{k} + y$ alakba, ahol $x$ és $y$ olyan természetes számok, amelyekre $y < {(x + 1)}^{k} - x^{k}$ . Ez a felírás egyértelmű, és rögzített $x$ mellett $n$ az $x^{k}$ , $x^{k} + 1$ , $...$ , ${(x + 1)}^{k} - 1$ számokat futja be.
Így $x \leq \sqrt[k]{x^{k} + y} < x + 1$ , tehát
a) ha $y \leq {(x + 1)}^{k} - x^{k} - x - 1$ , akkor

\begin{matrix} x \leq \sqrt[k]{x^{k} + y + \sqrt[k]{x^{k} + y}} < \sqrt[k]{x^{k} + ({(x + 1)}^{k} - x^{k} - x - 1) + (x + 1)} = x + 1, \end{matrix}

vagyis ilyenkor

f (n) = n + x = x^{k} + y + x

.
b) ha

y \geq {(x + 1)}^{k} - x^{k} - x

, akkor

\begin{matrix} \begin{matrix} x + 1 = \sqrt[k]{x^{k} + ({(x + 1)}^{k} - x^{k} - x) + x} \leq \sqrt[k]{x^{k} + y + \sqrt[k]{x^{k} + y}} < \\ < \sqrt[k]{{(x + 1)}^{k} + (x + 1)} < x + 2, \end{matrix} \end{matrix}

vagyis ilyenkor

f (n) = n + x + 1 = x^{k} + y + x + 1

.
Mindent egybevetve

f

értékkészlete

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{f} = ⋃_{x \in N}^{} ({x^{k} + y + x | y \in N, y \leq {(x + 1)}^{k} - x^{k} - x - 1} \cup \\ \cup {x^{k} + y + x + 1 | y \in N, {(x + 1)}^{k} - x^{k} > y \geq {(x + 1)}^{k} - x^{k} - x}) = \\ = ⋃_{x \in N}^{} ({t \in N | x^{k} + x \leq t \leq {(x + 1)}^{k} - 1} \cup \\ \cup {t \in N | {(x + 1)}^{k} + 1 \leq t \leq {(x + 1)}^{k} + x}) = N ∖ {{(x + 1)}^{n} | x \in N} . \end{matrix} \end{matrix}

Tehát

f

éppen azokat a természetes számokat veszi fel, amelyek nem pozitív

k

-adik hatványok.

Kiss Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján