Feladat: N.43 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Burcsi Péter ,  Dombi Gergely ,  Elek Péter ,  Farkas Péter ,  Gyarmati Katalin ,  Izsák Ferenc ,  Kiss Márton ,  Pap Gyula ,  Perényi Márton ,  Póczos Barnabás ,  Prohoveau Cornel ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Újváry-Menyhárt Mónika ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1995/április, 226 - 227. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényvizsgálat, Különleges függvények, Számelméleti függvények, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/október: N.43

Legyen k pozitív egész. Adjuk meg a természetes számokon értelmezett f(n)=[(n+n1/k)1/k]+n függvény értékkészletét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha k=1, akkor f(n)=3n, és így f értékkészletét a 3-mal osztható természetes számok alkotják.
Legyen most k2 rögzített, és írjuk az n-et xk+y alakba, ahol x és y olyan természetes számok, amelyekre y<(x+1)k-xk. Ez a felírás egyértelmű, és rögzített x mellett n az xk, xk+1, ..., (x+1)k-1 számokat futja be.
Így xxk+yk<x+1, tehát
a) ha y(x+1)k-xk-x-1, akkor

xxk+y+xk+ykk<xk+((x+1)k-xk-x-1)+(x+1)k=x+1,
vagyis ilyenkor f(n)=n+x=xk+y+x.
b) ha y(x+1)k-xk-x, akkor
x+1=xk+((x+1)k-xk-x)+xkxk+y+xk+ykk<<(x+1)k+(x+1)k<x+2,
vagyis ilyenkor f(n)=n+x+1=xk+y+x+1.
Mindent egybevetve f értékkészlete
Rf=xN({xk+y+x|yN,y(x+1)k-xk-x-1}{xk+y+x+1|yN,(x+1)k-xk>y(x+1)k-xk-x})=Rf=xN({tN|xk+xt(x+1)k-1}{tN|(x+1)k+1t(x+1)k+x})=N{(x+1)n|xN}.
Tehát f éppen azokat a természetes számokat veszi fel, amelyek nem pozitív k-adik hatványok.
 Kiss Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján