A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ha , akkor ki kell kötnünk, hogy és egyike sem lehet , mert a hatványt nem értelmezzük. A egyenletet -tal osztva kapjuk, hogy Legyen , ahol megfelelő valós szám; ekkor , az igazolandó állítás pedig Fejtsük ki a bal oldal tagjait a binomiális tétel szerint: | | | | Ezek összegében csak a páros kitevőjű tagok maradnak meg, azok is pozitív előjellel: | | (2) |
Ha , akkor ennek az összegnek csak egy tagja van, a . Ilyenkor tehát (2)-ben egyenlőség áll. Ha , akkor legalább még egy tagja van az összegnek. Mivel ezek a tagok mind nemnegatívak, az összeg legalább . Egyenlőség akkor van, ha , azaz és .
II. megoldás. Ha , akkor az állítás triviális, feltéve, hogy és . A továbbiakban feltesszük, hogy . Legyen és . A feltételt -tal osztva kapjuk, hogy , a bizonyítandó állítás pedig: . Mivel és szerepe felcserélhető, feltehetjük, hogy . Azt állítjuk, hogy minden természetes szám esetén . Ez azért igaz, mert miatt . Ebből következik, hogy | | Az feltétel miatt és miatt nemnegatív. Ezért a fenti egyenlőtlenség igaz marad, ha a bal oldalt -gyel, a jobb oldalt -szel szorozzuk: | | A beszorzásokat elvégezve adódik, ahonnan . Ezt kellett bizonyítani.
Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) |
Megjegyzés. Többen próbálták alkalmazni a számtani és az -edik hatványközép közötti egyenlőtlenséget az és számokra: Azt az esetet azonban, amikor vagy negatív, többnyire nem vizsgálták meg. Az ilyen dolgozatok 2 pontot kaptak.
|
|