Feladat: Gy.2941 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh András Miklós ,  Balogh Péter ,  Bárány Kristóf ,  Bérczi Gergely ,  Cseke Zsuzsa ,  Csillag Zita ,  Csizek Tamás ,  Csonka Dorottya ,  Deli Tamás ,  Erdélyi Gáspár ,  Fazekas Borbála ,  Fodor Bea ,  Gáspár László ,  Harmati Péter ,  Juhász András ,  Juhász Zsófia ,  Kacsuk Zsófia ,  Kántor László ,  Katona Zsolt ,  Klausz Zoltán ,  Koncz Imre ,  Lippner Gábor ,  Megyeri Csaba ,  Miklós Balázs ,  Nagy Attila ,  Németh András ,  Németh Balázs ,  Niszler Balázs ,  Papp Ágnes ,  Pintér Dömötör ,  Reviczky Ágnes ,  Rohonczi Viktória ,  Soós Gergely ,  Stubnya Gábor ,  Székely László ,  Szilágyi Jenő ,  Szűcs Balázs ,  Terpai Tamás ,  Tóth Gyula ,  Tóth Szabolcs ,  Treer Albert ,  Várady Gergő ,  Zakariás Ildikó ,  Zubcsek Péter Pál 
Füzet: 1995/április, 210 - 211. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kocka, Mértani helyek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/október: Gy.2941

Akkor mondjuk, hogy a P pontból ,,látjuk'' az A1A2A3A4A5A6A7A8 kocka Ai csúcsát, ha a PAi szakasznak nincs, de a PAi félegyenesnek van pontja a kocka belsejében. Legfeljebb hány csúcsát ,,láthatjuk'' a kockának egy P pontból?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg először, hogy egy adott csúcsot a tér mely pontjaiból láthatunk. Legyen P egy olyan pont, ahonnan az A1 csúcsot látjuk. Legyen Q a PA1 félegyenesnek egy olyan pontja, amely a kocka belsejébe esik. A Q pont nem lehet a PA1 szakaszon, ezért (a PA1 egyenesen) A1-nek P-vel ellentétes oldalán van. Az A1P és A1Q félegyenesek tehát ellentétes irányúak. Ebből következik, hogy ha a kocka A1-re illeszkedő lapsíkjaival nyolc részre osztjuk a teret, a P pont a Q-val és a kocka belsejével átellenes nyílt térnyolcadban lesz. Megfordítva, ha P ebben a tartományban van, akkor a PA1 szakasz meghosszabbítása a tartománnyal átellenes térrészben fekszik, emiatt van pontja a kocka belsejében.
Azoknak a pontoknak a halmaza tehát, ahonnan az A1 csúcsot látjuk, az a nyílt derékszögű triéder, amelyet a kocka A1-re illeszkedő lapsíkjai határolnak, és azoknak a kockával ellentétes oldalán van.
A P pontból annyi csúcsot látunk, ahány csúcshoz tartozó triéderben benne van. Mivel ezeknek a triédereknek nincs közös pontja (bármelyik kettőt elválasztja a kocka két párhuzamos lapsíkja), egyszerre legfeljebb egy csúcsot láthatunk.

 Fazekas Borbála (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján