|
| Feladat: |
N.38 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
| Megoldó(k): |
Bárász Mihály , Burcsi Péter , Elek Péter , Farkas Péter , Joó András , Kardkovács Zsolt Tivadar , Kovács Baldvin , Pap Gyula , Puskás Zsolt , Tóth Gábor Zsolt |
| Füzet: |
1995/március,
163 - 164. oldal |
 PDF | MathML |
| Témakör(ök): |
Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint kúpszelet, Nehéz feladat |
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/szeptember: N.38 |
|
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Felhasználjuk, hogy egy kúpszelet fókuszát egy értintőre tükrözve a tükörkép rajta van a (másik fókuszhoz tartozó) vezérkörön (amelynek sugara éppen a nagytengely), ill. parabola esetében vezéregyenesen. Így a következő, némileg általánosabb feladatot is megoldhatjuk: adott két kúpszelet fókuszaikkal és nagytengelyükkel (vagy valós tengelyükkel, vagy vezéregyenesükkel); megszerkesztendők a közös érintők, ha a két kúpszelet egyik fókusza közös.
A közös fókusznak a lehetséges érintőkre való tükörképei éppen a másik fókuszhoz tartozó vezérkör pontjait futják be (itt a hiperbola aszimptotáit is érintőknek tekintve).
Így a két ‐ nem közös ‐ fókuszhoz tartozó vezérkörök közös pontjai adják a közös fókusznak a közös érintőkre való tükörképeit, amelyekből maguk az érintők már könnyen megszerkeszthetők.
Mivel a közös fókusz mindkét vezérkörnek belső
pontja, azért a két vezérkör kölcsönös helyzete, és ennek alapján a megoldások száma a következő lehet:
| * | 1)a nagyobbik kör a belsejében tartalmazza a kisebbiket; ekkor nyilván nincs megoldás; |
| * | 2)a körök belülről érintik egymást, egyetlen megoldás van; |
| * | 3)a két kör metszi egymást, a megoldások száma 2. |
| Burcsi Péter (Pápa, Türr István Gimn., III. o.t.) |
|
|
