Feladat: N.38 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bárász Mihály ,  Burcsi Péter ,  Elek Péter ,  Farkas Péter ,  Joó András ,  Kardkovács Zsolt Tivadar ,  Kovács Baldvin ,  Pap Gyula ,  Puskás Zsolt ,  Tóth Gábor Zsolt 
Füzet: 1995/március, 163 - 164. oldal  PDF file
Témakör(ök): Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint kúpszelet, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/szeptember: N.38

Adott két ellipszis, fókuszaikkal és nagytengelyükkel. Szerkesszük meg a két ellipszis közös érintőit, ha egyik fókuszpontjuk egybeesik!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felhasználjuk, hogy egy kúpszelet fókuszát egy értintőre tükrözve a tükörkép rajta van a (másik fókuszhoz tartozó) vezérkörön (amelynek sugara éppen a nagytengely), ill. parabola esetében vezéregyenesen. Így a következő, némileg általánosabb feladatot is megoldhatjuk: adott két kúpszelet fókuszaikkal és nagytengelyükkel (vagy valós tengelyükkel, vagy vezéregyenesükkel); megszerkesztendők a közös érintők, ha a két kúpszelet egyik fókusza közös.
A közös fókusznak a lehetséges érintőkre való tükörképei éppen a másik fókuszhoz tartozó vezérkör pontjait futják be (itt a hiperbola aszimptotáit is érintőknek tekintve).
Így a két ‐ nem közös ‐ fókuszhoz tartozó vezérkörök közös pontjai adják a közös fókusznak a közös érintőkre való tükörképeit, amelyekből maguk az érintők már könnyen megszerkeszthetők.
Mivel a közös fókusz mindkét vezérkörnek belső
pontja, azért a két vezérkör kölcsönös helyzete, és ennek alapján a megoldások száma a következő lehet:

*1)a nagyobbik kör a belsejében tartalmazza a kisebbiket; ekkor nyilván nincs megoldás;
*2)a körök belülről érintik egymást, egyetlen megoldás van;
*3)a két kör metszi egymást, a megoldások száma 2.
 Burcsi Péter (Pápa, Türr István Gimn., III. o.t.)