Feladat:	F.3024	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1995/március, 148 - 149. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, A komplex szám algebrai alakja, Komplex számok tulajdonságai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/szeptember: F.3024

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Rendezzünk minden tagot a jobb oldalra, és bontsuk fel a zárójeleket: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 0\le \left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)-{\left(ab+bc+ca-1\right)}^2\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle 0\le \left(a^2{b}^2{c}^2+a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2+b^2+c^2+1\right)-}\\ \hfill {\displaystyle -\left(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2+2a^{2}bc+2a{b}^{2}c+2ab{c}^2-2ab-2bc-2ca+1\right)\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle 0\le a^2{b}^2{c}^2-2a^{2}bc-2a{b}^{2}c-2ab{c}^2+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle 0\le {\left(abc-a-b-c\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Ez az egyenlőtlenség mindig teljesül. Mivel pedig csupa megfordítható lépést végeztünk, ekvivalens az eredetivel.   II. megoldás. Tekintsük a következő komplex számokat:${}^{*}$ $z_1=i-a$, $z_2=i-b$, $z_3=i-c$. Könnyen ellenőrizhető, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{Im}\left(z_1{z}_2{z}_3\right)=ab+bc+ca-1}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle |z_1{z}_2{z}_3{|}^2=|z_1{|}^2|z_2{|}^2|z_3{|}^2=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A bizonyítandó állítás tehát: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\text{Im}\left(z_1{z}_2{z}_3\right)\right)}^2\le |z_1{z}_2{z}_3{|}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ami mindig teljesül. Sőt, a két oldal különbsége $\begin{array}{c}{\displaystyle |z_1{z}_2{z}_3{|}^2-{\left(\text{Im}\left(z_1{z}_2{z}_3\right)\right)}^2={\left(\text{Re}\left(z_1{z}_2{z}_3\right)\right)}^2={\left(abc-a-b-c\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$   ${}^{*}$Egy $z=x+yi$ komplex szám valós része $\text{Re}z=x$, képzetes része $\text{Im}z=y$ A komplex számokról olvashatnak pl. lapunk 1994/1. számának 11. oldalán Borsányi Ákos cikkében.