Feladat: F.3024 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1995/március, 148 - 149. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, A komplex szám algebrai alakja, Komplex számok tulajdonságai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/szeptember: F.3024

Bizonyítsuk be, hogy ha a, b, c tetszőleges valós számok, akkor
(ab+bc+ca-1)2(a2+1)(b2+1)(c2+1).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Rendezzünk minden tagot a jobb oldalra, és bontsuk fel a zárójeleket:
0(a2+1)(b2+1)(c2+1)-(ab+bc+ca-1)2,0(a2b2c2+a2b2+b2c2+c2a2+a2+b2+c2+1)--(a2b2+b2c2+c2a2+2a2bc+2ab2c+2abc2-2ab-2bc-2ca+1),0a2b2c2-2a2bc-2ab2c-2abc2+a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,0(abc-a-b-c)2.

Ez az egyenlőtlenség mindig teljesül. Mivel pedig csupa megfordítható lépést végeztünk, ekvivalens az eredetivel.
 
II. megoldás. Tekintsük a következő komplex számokat:* z1=i-a, z2=i-b, z3=i-c. Könnyen ellenőrizhető, hogy
Im(z1z2z3)=ab+bc+ca-1
és
|z1z2z3|2=|z1|2|z2|2|z3|2=(a2+1)(b2+1)(c2+1).
A bizonyítandó állítás tehát:
(Im(z1z2z3))2|z1z2z3|2,
ami mindig teljesül. Sőt, a két oldal különbsége
|z1z2z3|2-(Im(z1z2z3))2=(Re(z1z2z3))2=(abc-a-b-c)2.

 

*Egy z=x+yi komplex szám valós része Rez=x, képzetes része Imz=y A komplex számokról olvashatnak pl. lapunk 1994/1. számának 11. oldalán Borsányi Ákos cikkében.