Feladat: F.3025 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bakos Viktor ,  Bámer Balázs ,  Bozsaky Tamás ,  Burcsi Péter ,  Elek Péter ,  Erdélyi László ,  Farkas Illés ,  Farkas Péter ,  Fekete Zsolt ,  Galácz Ábel ,  Gémes Tamás ,  Gerő Tamás Miklós ,  Horváth Zoltán ,  Járási István ,  Kiss Zoltán ,  Matuz Mária ,  Nagy Katalin ,  Nagy Vilmos ,  Nyul Gábor ,  Pap Gyula ,  Perényi Márton ,  Sági Krisztián ,  Szőke Ervin ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Valkó Benedek ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1995/február, 98. oldal  PDF file
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Húrnégyszögek, Középponti és kerületi szögek, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/szeptember: F.3025

Egy húrnégyszög átlói merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög bármelyik két szemközti oldalának négyzetösszege egyenlő a körülírt kör átmérőjének négyzetével.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1‐2. ábra

Használjuk az ábrák jelöléseit. Az 1. ábrán lévő húrnégyszög körülírt körének sugara legyen r, az a húrhoz tartozó kerületi szög α, a c-hez tartozó kerületi szög γ. Elegendő a feladat állítását az a, c oldalpárra megmutatni. Azt kell bizonyítanunk, hogy a2+c2=(2r)2. Az 1/a. ábráról látjuk, hogy α+γ=90. A kerületi szögek tétele szerint a 1/b. ábrán a-val szemben α, c-vel szemben γ szög van, ezért az ábra háromszöge derékszögű. De akkor a Pitagorasz-tétel szerint a2+c2=(2r)2.
 Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.)