Kezdőlap


Feladat:	F.3019	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánhalmi András , Bárász Mihály , Bende Gabriella , Burcsi Péter , Endrődi Csilla , Erdélyi László , Farkas Illés , Fey Dániel , Gerő Tamás Miklós , Gilyén Péter , Gyarmati Katalin , Hegedűs Viktor , Izsák Ferenc , Kerekes Tamás , Kiss Márton , Koblinger Egmont , Kovács Baldvin , Makai Márton , Maróti Attila , Maróti Gábor , Méder Áron , Németh Ákos , Németh Zoltán , Puskás Zsolt , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Szailer Tamás , Szeredi Tibor , Szobonya László , Terpai Tamás , Torma Péter , Valkó Benedek , Véber Miklós , Vörös Zoltán
Füzet:	1995/február, 94 - 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Geometriai egyenlőtlenségek, Körülírt kör, Beírt kör, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/május: F.3019

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy a háromszög területe $t = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 R}$ , továbbá a Heron-képlettel ekvivalens a következő:

\begin{matrix} 16 t^{2} = (a + b + c) (a + b - c) (a - b + c) (- a + b + c) . \end{matrix}

Ezeket felhasználva átrendezés után

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{R^{2}} & = \frac{16 t^{2}}{a^{2} b^{2} c^{2}} = \frac{[{(a + b)}^{2} - c^{2}] [c^{2} - {(a - b)}^{2}]}{a^{2} b^{2} c^{2}} = \\ = \frac{(a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b) (c^{2} - a^{2} - b^{2} + 2 a b)}{a^{2} b^{2} c^{2}} = \\ = \frac{2 a^{2} b^{2} + 2 b^{2} c^{2} + 2 c^{2} a^{2} - [a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4} + b^{4} - 2 b^{2} c^{2} + c^{4} + c^{4} - 2 c^{2} a^{2} + a^{4}]}{2 a^{2} b^{2} c^{2}} = \\ = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} - \frac{{(a^{2} - b^{2})}^{2} + {(b^{2} - c^{2})}^{2} + {(c^{2} - a^{2})}^{2}}{2 a^{2} b^{2} c^{2}} \leq \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} . \end{matrix} \end{matrix}

Ezzel a bal oldali egyenlőtlenséget igazoltuk.
A második egyenlőtlenség bizonyításához felhasználjuk a

t = \frac{a + b + c}{2} \cdot r

összefüggést, és a Heron-képlet fent említett alakját:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{{(2 r)}^{2}} & = \frac{{(a + b + c)}^{2}}{16 t^{2}} = \frac{a + b + c}{(a + b - c) (a - b + c) (- a + b + c)} = \\ = \frac{(a + b - c) + (a - b + c) + (- a + b + c)}{(a + b - c) (a - b + c) (- a + b + c)} = \\ = \frac{1}{(a - b + c) (- a + b + c)} + \frac{1}{(a + b - c) (- a + b + c)} + \frac{1}{(a + b - c) (a - b + c)} = \\ = \frac{1}{c^{2} - {(a - b)}^{2}} + \frac{1}{b^{2} - {(a - c)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - {(b - c)}^{2}} \geq \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} . \end{matrix} \end{matrix}

Ezzel a feladat másik állítását is beláttuk.
Mindkét esetben pontosan akkor áll fenn egyenlőség, ha

a = b = c

, tehát ha a háromszög egyenlő oldalú.

Méder Áron (Budapest, Törökugrató Utcai Ált. Isk., 8. o.t.)

Megjegyzés. Feladatunk kézenfekvő következménye az ún. sugáregyenlőtlenség:

R \geq 2 r