Feladat: F.3019 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bánhalmi András ,  Bárász Mihály ,  Bende Gabriella ,  Burcsi Péter ,  Endrődi Csilla ,  Erdélyi László ,  Farkas Illés ,  Fey Dániel ,  Gerő Tamás Miklós ,  Gilyén Péter ,  Gyarmati Katalin ,  Hegedűs Viktor ,  Izsák Ferenc ,  Kerekes Tamás ,  Kiss Márton ,  Koblinger Egmont ,  Kovács Baldvin ,  Makai Márton ,  Maróti Attila ,  Maróti Gábor ,  Méder Áron ,  Németh Ákos ,  Németh Zoltán ,  Puskás Zsolt ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Szailer Tamás ,  Szeredi Tibor ,  Szobonya László ,  Terpai Tamás ,  Torma Péter ,  Valkó Benedek ,  Véber Miklós ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1995/február, 94 - 95. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Geometriai egyenlőtlenségek, Körülírt kör, Beírt kör, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/május: F.3019

Egy háromszög oldalai a, b, c, a körülírt kör sugara R, a beírt kör sugara r. Bizonyítsuk be, hogy
1R21a2+1b2+1c21(2r)2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy a háromszög területe t=abc4R, továbbá a Heron-képlettel ekvivalens a következő:

16t2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c).
Ezeket felhasználva átrendezés után
1R2=16t2a2b2c2=[(a+b)2-c2][c2-(a-b)2]a2b2c2==(a2+b2-c2+2ab)(c2-a2-b2+2ab)a2b2c2==2a2b2+2b2c2+2c2a2-[a4-2a2b2+b4+b4-2b2c2+c4+c4-2c2a2+a4]2a2b2c2==1a2+1b2+1c2-(a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-a2)22a2b2c21a2+1b2+1c2.

Ezzel a bal oldali egyenlőtlenséget igazoltuk.
A második egyenlőtlenség bizonyításához felhasználjuk a t=a+b+c2r összefüggést, és a Heron-képlet fent említett alakját:
1(2r)2=(a+b+c)216t2=a+b+c(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)==(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)==1(a-b+c)(-a+b+c)+1(a+b-c)(-a+b+c)+1(a+b-c)(a-b+c)==1c2-(a-b)2+1b2-(a-c)2+1a2-(b-c)21a2+1b2+1c2.

Ezzel a feladat másik állítását is beláttuk.
Mindkét esetben pontosan akkor áll fenn egyenlőség, ha a=b=c, tehát ha a háromszög egyenlő oldalú.
 Méder Áron (Budapest, Törökugrató Utcai Ált. Isk., 8. o.t.)

 
Megjegyzés. Feladatunk kézenfekvő következménye az ún. sugáregyenlőtlenség: R2r.