Feladat: C.358 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bakó Zsuzsanna ,  Bíborka Gyöngyvér ,  Boldoczki János ,  Cseh Árpád ,  Cseh Miklós Zsolt ,  Csorba István ,  Demkó László ,  Eller Péter ,  Holcsek Balázs ,  Korán Gabriella ,  Lőrinczi Ferenc ,  Majzik Viktor ,  Méder Áron ,  Novák András ,  Orbán Edgár ,  Pap Júlia ,  Papp Ágnes ,  Papp Erika ,  Papp Eszter ,  Polyák Krisztina ,  Radnóti Gergely ,  Sebők Tamás ,  Szabó Jácint ,  Takács Kornél ,  Terpai Tamás ,  Tóth Lajos ,  Zömbik László 
Füzet: 1995/február, 78 - 79. oldal  PDF file
Témakör(ök): Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/április: C.358

Bizonyítsuk be, hogy három egész szám negyedik hatványának összege pontosan akkor osztható 7-tel, ha négyzeteik összege osztható 7-tel.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat megoldásához elegendő a három szám 7-tel való osztási maradékát vizsgálni.
Egy n egész szám 7-tel osztva 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 maradékot adhat. Írjuk fel egy táblázatba egymás alá n, n2, n4 7-tel való osztásának maradékait:

 
   osztási maradékok  n  0  1  2  3  4  5  6  n2  0  1  4  2  2  4  1  n4  0  1  2  4  4  2  1 
 

Azt kell megnézni, hogy a táblázat második, illetve harmadik sorából (ugyanabból az oszlopból) három számot kiválasztva, ezek összege mikor osztható 7-tel. Ez két esetben teljesül: vagy mindhárom szám 7-tel osztva 0-t ad maradékul, vagy a három szám 7-tel való osztási maradéka 1, 2, 4.
Az első esetben, ha mindhárom szám négyzete 7-tel osztva 0-t ad maradékul, akkor a táblázatból láthatjuk, hogy a negyedik hatványok osztási maradéka is 0, és viszont.
A második esetben, ahol a 2. sor oszlopában 1-es áll, ott a 3. sorban alatta is 1-es áll, ahol 2-es áll, ott alatta 4-es, és ahol 4-es, ott alatta 2-es áll, vagyis mindkét esetben a maradékok összege 1+2+4=7, azaz a hatványösszegek oszthatók 7-tel. A három számot ezekből az oszlopokból választva teljesül a feladat követelménye.
Megjegyzés. Ne higgyük azt, hogy a négyzetek és a negyedik hatványok összege mindig ugyanazt a maradékot adja. A táblázatból leolvasható, hogyha pl. a négyzetösszegben a maradék 2+2+2=6, akkor a negyedik hatványoknál 4+4+4=12, ami 7-tel osztva nem 6-ot, hanem 5-öt ad maradékul.