Feladat:	F.3016	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánn Richárd ,  Endrődi Csilla ,  Farkas Péter ,  Fey Dániel ,  Gergely Levente ,  Gombos László ,  Kartai Andrea ,  Kasza Tamás ,  Koblinger Egmont ,  Maróti Gábor ,  Németh Ákos ,  Németh Zoltán ,  Valkó Benedek
Füzet:	1995/január, 30 - 31. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Periodikus sorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/május: F.3016

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Számítsuk ki a sorozat első néhány elemét: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a_1}& {\displaystyle =\sqrt[]{2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_2}& {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{3}\sqrt[]{2}-1}{\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}}=\frac{\left(\sqrt[]{6}-1\right)\left(\sqrt[]{3}-\sqrt[]{2}\right)}{\left(\sqrt[]{3}+\sqrt[]{2}\right)\left(\sqrt[]{3}-\sqrt[]{2}\right)}=\frac{4\sqrt[]{2}-3\sqrt[]{3}}{1}=4\sqrt[]{2}-3\sqrt[]{3};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_3}& {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{3}\left(4\sqrt[]{2}-3\sqrt[]{3}\right)-1}{\left(4\sqrt[]{2}-3\sqrt[]{3}\right)+\sqrt[]{3}}=\frac{\left(2\sqrt[]{6}-5\right)\left(2\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}\right)}{\left(2\sqrt[]{2}-\sqrt[]{3}\right)\left(2\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}\right)}=\frac{3\sqrt[]{3}-4\sqrt[]{2}}{5};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_4}& {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{3}\frac{3\sqrt[]{3}-4\sqrt[]{2}}{5}-1}{\frac{3\sqrt[]{3}-4\sqrt[]{2}}{5}+\sqrt[]{3}}=\frac{4-4\sqrt[]{6}}{8\sqrt[]{3}-4\sqrt[]{2}}=\frac{\left(1-\sqrt[]{6}\right)\left(2\sqrt[]{3}+\sqrt[]{2}\right)}{\left(2\sqrt[]{3}-\sqrt[]{2}\right)\left(2\sqrt[]{3}+\sqrt[]{2}\right)}=-\frac{5\sqrt[]{2}}{10}=-\frac{\sqrt[]{2}}{2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_5}& {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{3}\left(-\frac{\sqrt[]{2}}{2}\right)-1}{-\frac{\sqrt[]{2}}{2}+\sqrt[]{3}}=\frac{-\sqrt[]{6}-2}{2\sqrt[]{3}-\sqrt[]{2}}=\frac{\left(-\sqrt[]{6}-2\right)\left(2\sqrt[]{3}+\sqrt[]{2}\right)}{2\sqrt[]{3}-\sqrt[]{2})\left(2\sqrt[]{3}+\sqrt[]{2}\right)}=\frac{-6\sqrt[]{3}-8\sqrt[]{2}}{10}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{3\sqrt[]{3}-4\sqrt[]{2}}{5}=-a_3;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_6}& {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{3}\frac{-3\sqrt[]{3}-4\sqrt[]{2}}{5}-1}{\frac{-3\sqrt[]{3}-4\sqrt[]{2}}{5}+\sqrt[]{3}}=\frac{-14-4\sqrt[]{6}}{2\sqrt[]{3}-4\sqrt[]{2}}=\frac{\left(-7-2\sqrt[]{6}\right)\left(\sqrt[]{3}+2\sqrt[]{2}\right)}{\left(\sqrt[]{3}-2\sqrt[]{2}\right)\left(\sqrt[]{3}+2\sqrt[]{2}\right)}=\frac{-15\sqrt[]{3}-20\sqrt[]{2}}{-5}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =3\sqrt[]{3}+4\sqrt[]{2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_7}& {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{3}\left(3\sqrt[]{3}+4\sqrt[]{2}\right)-1}{3\sqrt[]{3}+4\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}}=\frac{8+4\sqrt[]{6}}{4\sqrt[]{3}+4\sqrt[]{2}}=\frac{4\sqrt[]{2}\left(\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}\right)}{4\left(\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}\right)}=\sqrt[]{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Tehát $a_7=a_1$. Mivel a rekurzió minden elemet az előzővel definiál az indextől függetlenül, innen kezdve a sorozat periodikus: $a_{n+6}=a_n$ tetszőleges $n$ pozitív egészre.  Gombos László (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., IV. o.t.)   II. megoldás. A sorozat rekurziója hasonlít a kotangens-függvény addíciós tételére: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\left(x+y\right)=\frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}x\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}y-1}{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}x+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}y}\mathrm{.}}\end{array}$ Legyen $\alpha$ olyan valós szám, amelyre $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\alpha =\sqrt[]{2}$. Azt állítjuk, hogy minden $n$-re $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\left(\alpha +\left(n-1\right)\frac{\pi }{6}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (Mivel $-\sqrt[]{2}$ nem azonos $\frac{\pi }{6}$, $\frac{2\pi }{6}$, $\frac{3\pi }{6}$, $\frac{4\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{6}$ egyikének kotangensével sem, a jobb oldal mindig értelmes.) Ha $n=1$, akkor állításunk $\alpha$ választása miatt igaz. Ha pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\left(\alpha +\left(n-1\right)\frac{\pi }{6}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{3}{a}_n-1}{a_n+\sqrt[]{3}}=\frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\frac{\pi }{6}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\left(\alpha +\left(n-1\right)\frac{\pi }{6}\right)-1}{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\left(\alpha +\left(n-1\right)\frac{\pi }{6}\right)+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\frac{\pi }{6}}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\left(\left(\alpha +\left(n-1\right)\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{6}\right)=\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\left(\alpha +n\frac{\pi }{6}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Az állításunk tehát igaz. Az $\left(a_n\right)$ sorozat periodikussága ezután a kotangens-függvény periodikusságából következik. Mivel a kotangens-függvénynek $\pi$ a periódusa, $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{n+6}=\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\left(\alpha +\left(n+5\right)\frac{\pi }{6}\right)=\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\left(\alpha +\left(n-1\right)\frac{\pi }{6}+\pi \right)=\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\left(\alpha +\left(n-1\right)\frac{\pi }{6}\right)=a_n\mathrm{.}}\end{array}$  Koblinger Egmont (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)   Megjegyzés. Ha $a_0$-nak bármilyen, $0$-tól, $\pm \sqrt[]{3}$-tól és $\pm \frac{\sqrt[]{3}}{3}$-tól különböző számot választunk, a sorozat periodikus lesz. Ez mindkét megoldás módszerével igazolható.