|
Feladat: |
F.3016 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bánn Richárd , Endrődi Csilla , Farkas Péter , Fey Dániel , Gergely Levente , Gombos László , Kartai Andrea , Kasza Tamás , Koblinger Egmont , Maróti Gábor , Németh Ákos , Németh Zoltán , Valkó Benedek |
Füzet: |
1995/január,
30 - 31. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometriai azonosságok, Periodikus sorozatok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/május: F.3016 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Számítsuk ki a sorozat első néhány elemét: | | Tehát . Mivel a rekurzió minden elemet az előzővel definiál az indextől függetlenül, innen kezdve a sorozat periodikus: tetszőleges pozitív egészre.
Gombos László (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., IV. o.t.) |
II. megoldás. A sorozat rekurziója hasonlít a kotangens-függvény addíciós tételére: | | Legyen olyan valós szám, amelyre . Azt állítjuk, hogy minden -re (Mivel nem azonos , , , , egyikének kotangensével sem, a jobb oldal mindig értelmes.) Ha , akkor állításunk választása miatt igaz. Ha pedig akkor | |
Az állításunk tehát igaz. Az sorozat periodikussága ezután a kotangens-függvény periodikusságából következik. Mivel a kotangens-függvénynek a periódusa, | |
Koblinger Egmont (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) |
Megjegyzés. Ha -nak bármilyen, -tól, -tól és -tól különböző számot választunk, a sorozat periodikus lesz. Ez mindkét megoldás módszerével igazolható.
|
|