Kezdőlap


Feladat:	F.3012	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bárász Mihály , Farkas Illés , Gombos László , Maróti Attila , Maróti Gábor , Németh Zoltán
Füzet:	1995/január, 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/április: F.3012

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $u = \sqrt[]{x^{2} - 1}$ . Mindkét oldalt négyzetre emelve és ezt behelyettesítve, rendezzük az egyenletet a következőképpen:

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} {(1 - \frac{1}{\sqrt[]{x^{2} - 1}})}^{2} & = {(\frac{91}{60})}^{2}; \\ (u^{2} + 1) {(1 - \frac{1}{u})}^{2} & = {(\frac{91}{60})}^{2}; \\ (u + \frac{1}{u}) (u + \frac{1}{u} - 2) & = {(\frac{91}{60})}^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

(u + \frac{1}{u})

-ra másodfokú egyenlet, amelynek gyökei:

\frac{169}{60}

és

- \frac{49}{60}

. Azonban, definíciója alapján,

u

és

u + \frac{1}{u}

pozitív, ezért a negatív gyök nem jöhet szóba. Tehát

\begin{matrix} u + \frac{1}{u} = \frac{169}{60}, azaz u^{2} - \frac{169}{60} u + 1 = 0 \end{matrix}

Ennek a másodfokú egyenletnek két gyöke van: az

\frac{5}{12}

és a

\frac{12}{5}

.
Ha

u = \frac{5}{12}

, akkor

x = \pm \sqrt[]{u^{2} + 1} = \pm \frac{13}{12}

. Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy a

- \frac{13}{12}

megoldás, a

+ \frac{13}{12}

pedig nem.
Ha

u = \frac{12}{5}

, akkor

x = \pm \sqrt[]{u^{2} + 1} = \pm \frac{13}{5}

. Ezek közül a

+ \frac{13}{5}

megoldás, a

- \frac{13}{5}

nem megoldás.
Az egyenletnek tehát két gyöke van:

x_{1} = - \frac{13}{12}

és

x_{2} = \frac{13}{5}