Feladat: F.3012 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bárász Mihály ,  Farkas Illés ,  Gombos László ,  Maróti Attila ,  Maróti Gábor ,  Németh Zoltán 
Füzet: 1995/január, 27. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/április: F.3012

Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
x-xx2-1=9160.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen u=x2-1. Mindkét oldalt négyzetre emelve és ezt behelyettesítve, rendezzük az egyenletet a következőképpen:

x2(1-1x2-1)2=(9160)2;(u2+1)(1-1u)2=(9160)2;(u+1u)(u+1u-2)=(9160)2.
Ez (u+1u)-ra másodfokú egyenlet, amelynek gyökei: 16960 és -4960. Azonban, definíciója alapján, u és u+1u pozitív, ezért a negatív gyök nem jöhet szóba. Tehát
u+1u=16960,azazu2-16960u+1=0
Ennek a másodfokú egyenletnek két gyöke van: az 512 és a 125.
Ha u=512, akkor x=±u2+1=±1312. Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy a -1312 megoldás, a +1312 pedig nem.
Ha u=125, akkor x=±u2+1=±135. Ezek közül a +135 megoldás, a -135 nem megoldás.
Az egyenletnek tehát két gyöke van: x1=-1312 és x2=135.