Kezdőlap


Feladat:	2270. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bodrogi Péter , Csáki Cs. , Csordás Zoltán Mihály , Derényi Imre , Hauer Tamás , Kégl Balázs , Lang András , Németh László , Szabó A. , Szikrai Szabolcs , Tavaszi Gábor
Füzet:	1988/november, 423 - 424. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merev test síkmozgása, Fizikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/november: 2270. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rendszerre $α$ szögű kitérés esetén az 1. ábrán látható erők hatnak. (A betűjel nélküli erőknek a továbbiakban nem lesz lényeges szerepük.)

1. ábra

Írjuk fel az alsó rúd tömegközéppontjának tangenciális (érintő irányú) mozgásegyenletét:

\begin{matrix} m_{1} g sin α - K = m_{1} \cdot (l_{2} + \frac{1}{2} l_{1}) β, \end{matrix}

(1)

valamint mindkét rúd forgómozgásának egyenletét (az alsó rúdét a tömegközéppontjára, a felsőét pedig a forgástengelyre vonatkoztatva):

\begin{matrix} K \cdot \frac{l_{1}}{2} = \frac{1}{12} m_{1} l_{1}^{2} \cdot β, & (2) \\ K \cdot l_{2} + m_{2} g sin α \cdot \frac{l_{2}}{2} = \frac{1}{3} m_{2} l_{2}^{2} \cdot β . & (3) \end{matrix}

A fenti összefüggésben

β

a feltételezésünk szerint együtt lengő rendszer egyes részeinek közös szöggyorsulását jelöli.
Az (1), (2) és (3) egyenletekből

K

és

β

kiküszöbölhető, s végül az

\begin{matrix} \frac{l_{2}}{l_{1}} = - (2 + \frac{m_{1}}{m_{2}}) \end{matrix}

(4)

feltételt kapjuk. A jobb oldalon

m_{1} = 3 m_{2}

esetén, sőt bármilyen más tömegarány esetén is negatív szám áll, így a feltételezett mozgás nem valósulhat meg.

Tavaszi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)

dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A (4) egyenletből

m_{1} = 3 m_{2}

esetén formálisan az

l_{1} = - \frac{1}{5} l_{2}

eredményt kapjuk. Megpróbálhatjuk a ,,negatív távolságot'' oly módon értelmezni, hogy az alsó rudat a feltételezettel ellentétes irányba állítjuk (2. ábra).

2. ábra

A megoldásban szereplő egyenleteket felírva most

\begin{matrix} l_{2} = (2 + m_{1} / m_{2}) l_{1} = 5 l_{1} \end{matrix}

adódik, s ez egyforma vastag rudakkal

\begin{matrix} \frac{ϱ_{1}}{ϱ_{2}} = \frac{m_{1}}{l_{1}} : \frac{m_{2}}{l_{2}} = 15 \end{matrix}

sűrűségarány esetén valósítható meg. A rudak ilyenfajta mozgása azonban instabil, az alsó rúd akármilyen kicsiny zavar hatására lebillen, s egy bonyolult himbálódzó mozgás jön létre.

Hauer Tamás (Budapest, Apáczai Cs. J. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

2. Sok megoldó egy-egy fizikai inga lengésidejének azonosságát kihasználva próbálta meg az együttlengés feltételét felírni. Az egyik ingának általában az összetett rendszert vették, a másiknak vagy a felső, vagy az alsó rudat. Ez utóbbi két ,,inga'' lengésidejét azonban hibásan számították. A felső rúd lengésidejénél nem hagyhatjuk figyelmen kívül az alsó végén ható nyíróerőt, az alsó rúd pedig nem úgy leng, mintha a felső inga egy álló csuklóhoz lenne erősítve, hiszen a felső inga gyorsuló mozgást végez, az ehhez rögzített koordinátarendszer nem inerciarendszer.