Feladat: 2270. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bodrogi Péter ,  Csáki Cs. ,  Csordás Zoltán Mihály ,  Derényi Imre ,  Hauer Tamás ,  Kégl Balázs ,  Lang András ,  Németh László ,  Szabó A. ,  Szikrai Szabolcs ,  Tavaszi Gábor 
Füzet: 1988/november, 423 - 424. oldal  PDF file
Témakör(ök): Merev test síkmozgása, Fizikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/november: 2270. fizika feladat

Egy homogén pálca egyik végéhez csuklósan hozzáerősítünk egy másik, harmadrésznyi tömegű pálcát. A kisebb tömegű rúd másik végénél csuklósan felfüggesztjük a rendszert, majd lengésbe hozzuk. Azt tapasztaljuk, hogy a pálcák tengelye mindvégig egy egyenesbe esik. Mekkora a pálcák sűrűségének aránya?
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rendszerre α szögű kitérés esetén az 1. ábrán látható erők hatnak. (A betűjel nélküli erőknek a továbbiakban nem lesz lényeges szerepük.)

 
 
1. ábra
 

Írjuk fel az alsó rúd tömegközéppontjának tangenciális (érintő irányú) mozgásegyenletét:
m1gsinα-K=m1(l2+12l1)β,(1)
valamint mindkét rúd forgómozgásának egyenletét (az alsó rúdét a tömegközéppontjára, a felsőét pedig a forgástengelyre vonatkoztatva):

Kl12=112m1l12β,(2)Kl2+m2gsinαl22=13m2l22β.(3)



A fenti összefüggésben β a feltételezésünk szerint együtt lengő rendszer egyes részeinek közös szöggyorsulását jelöli.
Az (1), (2) és (3) egyenletekből K és β kiküszöbölhető, s végül az
l2l1=-(2+m1m2)(4)
feltételt kapjuk. A jobb oldalon m1=3m2 esetén, sőt bármilyen más tömegarány esetén is negatív szám áll, így a feltételezett mozgás nem valósulhat meg.
 
Tavaszi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)

dolgozata alapján

 
Megjegyzések. 1. A (4) egyenletből m1=3m2 esetén formálisan az l1=-15l2 eredményt kapjuk. Megpróbálhatjuk a ,,negatív távolságot'' oly módon értelmezni, hogy az alsó rudat a feltételezettel ellentétes irányba állítjuk (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

A megoldásban szereplő egyenleteket felírva most
l2=(2+m1/m2)l1=5l1
adódik, s ez egyforma vastag rudakkal
ϱ1ϱ2=m1l1:m2l2=15
sűrűségarány esetén valósítható meg. A rudak ilyenfajta mozgása azonban instabil, az alsó rúd akármilyen kicsiny zavar hatására lebillen, s egy bonyolult himbálódzó mozgás jön létre.
 
Hauer Tamás (Budapest, Apáczai Cs. J. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

 
2. Sok megoldó egy-egy fizikai inga lengésidejének azonosságát kihasználva próbálta meg az együttlengés feltételét felírni. Az egyik ingának általában az összetett rendszert vették, a másiknak vagy a felső, vagy az alsó rudat. Ez utóbbi két ,,inga'' lengésidejét azonban hibásan számították. A felső rúd lengésidejénél nem hagyhatjuk figyelmen kívül az alsó végén ható nyíróerőt, az alsó rúd pedig nem úgy leng, mintha a felső inga egy álló csuklóhoz lenne erősítve, hiszen a felső inga gyorsuló mozgást végez, az ehhez rögzített koordinátarendszer nem inerciarendszer.