Feladat: 2876. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bordy Csongor 
Füzet: 1996/január, 55. oldal  PDF file
Témakör(ök): Összetartó erők eredője, Súlypont (tömegközéppont) meghatározása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/március: 2876. fizika feladat

Két egyenlő nagyságú, homogén tömegeloszlású tömör félgömgöt egyetlen egész gömbbé ragasztunk össze. A két félgömb anyaga különböző. A gömböt óvatosan egy 30-os lejtőre helyezzük és elengedjük. Elképzelhető-e, hogy a gömb se le nem csúszik, se le nem gördül a lejtőn?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A golyó akkor nem csúszik és nem gördül le a lejtőn, ha a rá ható erők eredője és a rá ható forgatónyomatékok eredője zérus. A lejtővel párhuzamos erők egyensúlya: mgsinα=Ftμtmgcosα, tehát μt>tgα esetén nem csúszik meg a golyó.
Hogy a golyó ne gördüljön, ahhoz tömegközéppontjának a pillanatnyi forgástengelyen ─ a golyó és a lejtő érintkezési pontján ─ átmenő függőleges egyenesen kell lennie. Ez nem teljesülhet akármilyen α-ra. A tömegközéppont legfeljebb 3R/8 távolságra lehet a geometriai középponttól, ugyanis egy félgömb tömegközéppontja ilyen távolságra van az alapkör középpontjától, és ha az összeragasztott félgömbök egyikének tömege nagyon kicsi a másikéhoz képest, akkor a teljes gömb tömegközéppontja majdnem egybeesik a nehéz félgömb tömegközéppontjával (a matematikai határeset persze nem valósítható meg a gyakorlatban). Az 1. ábra a határesetet mutatja. Leolvasható, hogy sinα0=3/8, tehát
α022. α<α0 esetén két egyensúlyi helyzet van, az egyik stabilis, a másik instabil.
Esetünkben, α=30 mellett a golyó vagy tisztán, vagy csúszva legördül, attól függően, hogy μt nagyobb vagy kisebb tg300,577-nél.

 Bordy Csongor (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., I. o.t.)

 
Megjegyzés. Anélkül is beláthatjuk a kérdéses egyensúly lehetetlenségét, hogy ismernénk a homogén félgömb tömegközéppontjának pontos helyzetét. A golyó akkor maradhatna egyensúlyban a 30-os lejtőn, ha a tömegközéppont legalább R/2 távol lenne a középponttól. Ez azonban nem lehetséges, mert a 2. ábrán látható e egyenesre nézve a besatírozott tartomány szimmetrikusan helyezkedik el, tehát a tömegközéppontja e-re esik, az egész rendszeré pedig a gömb középpontjához R/2-nél közelebb kell legyen.