Kezdőlap


Feladat:	2841. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1995/március, 187. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Analógia alkalmazása, Newton-féle gravitációs erő, Kepler III. törvénye, Egyéb pontszerű elektromos töltés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/november: 2841. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A fémsíktól $r$ távolságra levő $Q$ tömegű test | a tükörtöltések módszere szerint | úgy polarizálja a fémet, hogy a kialakuló elektromos mező a ,,valódi'' $Q$ és a tükörképpontban elképzelt $- Q$ töltés elektromos mezőinek összege (1. ábra). A töltött részecskére tehát (nyugalmi helyzetben) $F = k \frac{Q^{2}}{{(2 r)}^{2}}$ erő hat. Feltételezzük, hogy ugyanekkora az erő a mozgó, gyorsuló töltés esetében is. (Ez a feltevés annak felel meg, hogy a fém ,,jó vezető'', az elektronjai ,,gyorsan'' át tudnak rendeződni a $Q$ töltés pillanatnyi helyzetének megfelelő egyensúlyi állapotba.)
Látható, hogy az erőtörvény analóg a gravitációs erő $F \sim 1 / r^{2}$ -es törvényével. Mivel Kepler III. törvénye ebből az erőtörvényből levezethető, a jelen esetben is alkalmazható: a részecske olyan ellipszispályán mozog, amelyen a $T$ keringési idő és az ellipszis fél nagytengelye ( $a$ ) között fennáll:

\begin{matrix} T^{2} = a^{3} = K = állandó . \end{matrix}

Másrészt viszont az egyenesen zuhanó részecske pályája felfogható úgy, mint egy erősen ,,ellapított'', elfajult ellipszis (I. pálya a 2. ábrán), amelynek nagytengelye

2 a = r

, a Kepler-törvény alapján a keringési idő, ami a zuhanás

T_{0}

idejének kétszerese lenne

\begin{matrix} T = 2 T_{0} = \sqrt[]{K \cdot {(\frac{r}{2})}^{3}} . \end{matrix}

K

,,Kepler-állandó'' nagyságát egy

r

sugarú kör mozgásképletéből (II. pálya a 2. ábrán) olvashatjuk ki:

\begin{matrix} m r {(\frac{2 π}{T_{kör}})}^{2} = k \frac{Q^{2}}{4 r^{2}}, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} K = \frac{T_{kör}^{2}}{r^{3}} = \frac{16 π^{2} m}{k Q^{2}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} T_{0} = π \sqrt[]{\frac{m r^{3}}{2 k Q^{2}}} . \end{matrix}

Megjegyzés. Sokan úgy számoltak, mintha a töltött részecske gyorsulása állandó, a kezdeti gyorsulással megegyező lenne. Eredményük a helyes érték

4 / π

-szerese. Mások a gravitáció hatásának tulajdonították a fémsíkhoz csapódást, ez ugyancsak hibás feltevés, hiszen az elektromos erők mellett a gravitációs kölcsönhatás szinte mindig elhanyagolható.