Feladat: 2841. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1995/március, 187. oldal  PDF file
Témakör(ök): Analógia alkalmazása, Newton-féle gravitációs erő, Kepler III. törvénye, Egyéb pontszerű elektromos töltés, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/november: 2841. fizika feladat

Az ábrán látható deszka tetejéről kisméretű homokzsák csúszik le a vízszintes talajra. A csúszási súrlódási együttható a deszkán és a talajon is μ=0,2. Mekkora α hajlásszög esetén jut a legmesszebbre a zsák a talajon ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A fémsíktól r távolságra levő Q tömegű test | a tükörtöltések módszere szerint | úgy polarizálja a fémet, hogy a kialakuló elektromos mező a ,,valódi'' Q és a tükörképpontban elképzelt -Q töltés elektromos mezőinek összege (1. ábra). A töltött részecskére tehát (nyugalmi helyzetben) F=kQ2(2r)2 erő hat. Feltételezzük, hogy ugyanekkora az erő a mozgó, gyorsuló töltés esetében is. (Ez a feltevés annak felel meg, hogy a fém ,,jó vezető'', az elektronjai ,,gyorsan'' át tudnak rendeződni a Q töltés pillanatnyi helyzetének megfelelő egyensúlyi állapotba.)
Látható, hogy az erőtörvény analóg a gravitációs erő F1/r2-es törvényével. Mivel Kepler III. törvénye ebből az erőtörvényből levezethető, a jelen esetben is alkalmazható: a részecske olyan ellipszispályán mozog, amelyen a T keringési idő és az ellipszis fél nagytengelye (a) között fennáll:

T2=a3=K=állandó.
Másrészt viszont az egyenesen zuhanó részecske pályája felfogható úgy, mint egy erősen ,,ellapított'', elfajult ellipszis (I. pálya a 2. ábrán), amelynek nagytengelye 2a=r, a Kepler-törvény alapján a keringési idő, ami a zuhanás T0 idejének kétszerese lenne
T=2T0=K(r2)3.
A K ,,Kepler-állandó'' nagyságát egy r sugarú kör mozgásképletéből (II. pálya a 2. ábrán) olvashatjuk ki:
mr(2πTkör)2=kQ24r2,
illetve
K=Tkör2r3=16π2mkQ2,
ahonnan
T0=πmr32kQ2.

 
Megjegyzés. Sokan úgy számoltak, mintha a töltött részecske gyorsulása állandó, a kezdeti gyorsulással megegyező lenne. Eredményük a helyes érték 4/π-szerese. Mások a gravitáció hatásának tulajdonították a fémsíkhoz csapódást, ez ugyancsak hibás feltevés, hiszen az elektromos erők mellett a gravitációs kölcsönhatás szinte mindig elhanyagolható.