Kezdőlap


Feladat:	2825. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gellért Zsolt , Gilyén Péter , Horváth Péter , Kovács Baldvin , Németh Tibor , Ravasz Erzsébet , Salk Miklós , Tóth Gábor Zsolt , Varga Balázs , Varga Dezső
Füzet:	1995/február, 115 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felületi feszültségből származó energia, Sikkondenzátor, Elektromos mező energiája, energiasűrűsége, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/szeptember: 2825. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kondenzátor szélességét $l$ -lel, magasságát $H$ -val, a folyadékszint magasságát pedig $h$ -val (lásd az 1. ábrát)! A kondenzátor folyadékkal teli és folyadékmentes részét tekinthetjük két párhuzamosan kapcsolt kondenzátornak, amelyek eredő kapacitása függ a folyadékszint $h$ magasságától:

1. ábra

\begin{matrix} C (h) = C_{1} + C_{2} = ε_{0} ε_{r} \frac{l h}{d} + ε_{0} \frac{l (H - h)}{d} . \end{matrix}

(1)

Ha a kondenzátorra

U

felszültséget kapcsolunk, lemezeire

Q = C \cdot U

töltés kerül, a kialakuló elektrosztatikus mező energiája pedig

\begin{matrix} E_{e} (h) = \frac{1}{2} U^{2} C (h) \end{matrix}

(2)

lesz. (Mivel

C

h

magasság növekedtével növekszik, az elektrosztatikus energia | megadott

U

esetén | annál nagyobb, minél magasabban áll a folyadék a lemezek között.)
A lemezek közti

ϱ

sűrűségű folyadék gravitációs helyzeti energiája (az edénybeli folyadékszinthez viszonyítva)

\begin{matrix} E_{g} (h) = l h d \cdot ϱ g \cdot \frac{h}{2} \end{matrix}

(3)

ez a mennyiség is

h

-nak monoton növekvő függvénye.
A folyadékot az egyszerűség kedvéért tekintsük tökéletesen nedvesítőnek, és a felületi feszültségét jelöljük

σ

-val. Minél nagyobb felületen érintkezik a folyadék a kondenzátor lemezeivel, annál kisebb lesz a folyadék és a szilárd fal kölcsönhatási energiája:

\begin{matrix} E_{k} (h) = - 2 l h σ . \end{matrix}

(4)

K

kapcsoló bekapcsolása előtt a rendszer (amely most a folyadékból és a kondenzátorlemezekből áll) összenergiája

\begin{matrix} E_{I} (h) = E_{g} + E_{k} = \frac{l d ϱ g}{2} h^{2} - 2 l σ h . \end{matrix}

(5)

Ennek a függvénynek (2. ábra) bizonyos

h_{0}

-nál minimuma van. Ez a

h_{0}

érték a folyadék kezdeti (egyensúlyi) magassága, amelynek nagysága differenciálással vagy elemi úton, teljes négyzetté alakítással kapható meg:

2. ábra

\begin{matrix} E_{I} (h) = \frac{l d ϱ g}{2} {(h - \frac{2 σ}{ϱ g d})}^{2} - \frac{2 σ^{2} l}{ϱ g d}, \end{matrix}

(6)

ahonnan leolvashatjuk, hogy

\begin{matrix} h_{0} = \frac{2 σ}{ϱ g d} . \end{matrix}

(7)

Erre az egyensúlyi

h_{0}

magasságra az jellemző, hogy a folyadékszint feltételezett kicsiny

Δ h

változására

\begin{matrix} Δ E_{I} = Δ E_{g} + Δ E_{k} = ϱ g l d h_{0} \cdot Δ h - 2 l σ Δ h = 0. \end{matrix}

(8)

(Ha nem így lenne, vagyis ha alkalmas előjelű kicsiny

Δ h

szintváltozásra

E_{I}

csökkenhetne, ez a változás meg is valósulna, és a felszabaduló energia hővé alakulásával a rendszer más állapotába mehetne át.)
Kapcsoljuk most be a

K

kapcsolót, és vizsgáljuk meg az így kialakuló rendszer energiaviszonyait

h

függvényében. A gravitációs és a kölcsönhatási energia mellett a kondenzátor elektromos energiáját is figyelembe véve (lásd az (1) és (2) összefüggéseket) naiv módon arra a következtetésre juthatunk, hogy a folyadékszintnek le kell süllyednie

h_{0}

-hoz képest, hiszen

E_{e} (h)

annál kisebb, minél kisebb

h

. Meglepő módon a tényleges helyzet éppen fordított: a folyadék a kapcsoló bekapcsolása után megemelkedik!
Nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy a folyadék + kondenzátor rendszer állandó feszültség esetén nem tekinthető zártnak, hiszen kapcsolatban áll a teleppel. Ha valamilyen ok (jelen esetben a folyadékszint magasságának megválasztása) miatt a kondenzátor kapacitására egy kicsiny

Δ C

értékkel megváltozik, akkor az

U

felszültségű telepből

Δ Q = U \cdot Δ C

töltés áramlik ki, s ez a telep belső (kémiai) energiáját

\begin{matrix} Δ E_{telep} = - U \cdot Δ Q = - U^{2} \cdot Δ C \end{matrix}

(9)

értékkel csökkenti. Az új egyensúlyi helyzetre,

h_{1}

-re az jellemző, hogy

\begin{matrix} Δ E_{összes} = Δ E_{g} + Δ E_{k} + Δ E_{e} + Δ E_{telep} = 0, \end{matrix}

(10)

részletesebben kiírva

\begin{matrix} ϱ g l d h_{1} \cdot Δ h - 2 l σ Δ h + \frac{1}{2} U^{2} \cdot Δ C - U^{2} Δ C = 0. \end{matrix}

(11)

Használjuk még ki, hogy (1) szerint

\begin{matrix} Δ C = ε_{0} (ε_{r} - 1) \frac{l}{d} Δ h, \end{matrix}

(12)

amelyet (11)-be helyettesítve

\begin{matrix} h_{1} = \frac{2 σ}{ϱ g d} + \frac{ε_{0} (ε_{r} - 1) U^{2}}{2 ϱ g d^{2}} \end{matrix}

(13)

adódik. Az emelkedés nagysága számszerűen

\begin{matrix} h_{1} - h_{0} = ε_{0} (ε_{r} - 1) \frac{U^{2}}{2 ϱ g d^{2}} = 4, 2 mm . \end{matrix}

(14)

Vizsgáljuk meg végül, hogy mennyit változik összességében a folyadék + kondenzátor + elektromos mező + telep rendszer energiája a

K

kapcsoló bekapcsolása és az új egyensúlyi helyzet elérése során. Az egyes energiaváltozások:

\begin{matrix} \begin{matrix} E_{g} (h_{1}) - E_{g} (h_{0}) & = ϱ g d l \frac{h_{1}^{2} - h_{0}^{2}}{2} > 0, \\ E_{k} (h_{1}) - E_{k} (h_{0}) & = - 2 σ l (h_{1} - h_{0}) < 0, \\ E_{e} (h_{1}) - E_{e} (h_{0}) + Δ E_{telep} & = - \frac{U^{2}}{2} ε_{0} (ε_{r} - 1) \frac{l}{d} (h_{1} - h_{0}) < 0. \end{matrix} \end{matrix}

Ha ezeket az energiakülönbségeket összegezzük, a rendszer teljes energiájának megváltozására | algebrai átalakítások után | a következőt kapjuk:

\begin{matrix} E_{összes} (h_{1}) - E_{összes} (h_{0}) = - \frac{1}{2} ϱ g d l {(h_{1} - h_{0})}^{2} < 0. \end{matrix}

A kapcsoló bekapcsolása után az új egyensúlyi állapotban tehát kisebb a rendszer (rendezett) energiáinak összege, mint korábban volt. Az energiakülönbség az egyensúly kialakulása közben rendezetlen formájú energiává alakul; hő fejlődik a vezetékben, illetve a súrlódási folyadékban.

Németh Tibor (Győr, Révai M. Gimn., IV. o.t.) és

Tóth Gábor Zsolt (Budapest, Árpád Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Az áramforrás felfogható egy igen nagy kapacitású kondenzátorként, amelyet

U

feszültségre töltöttek fel. A rendszer energiájának számításakor a telep energiája ezen kondenzátor elektrosztatikus energiájaként vehető figyelembe.

Németh Tibor

2. A

K

kapcsoló bekapcsolása és a kondenzátor feltöltődése után a kapcsolót akár ki is kapcsolhatjuk, s ebben az állapotban vizsgálhatjuk az egyensúlyhoz közeli állapotok energiaviszonyait. A változás kapacitású kondenzátor energiája ilyenkor

E_{e} = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C (h)}

módon számítható, ahol

Q

a kondenzátor töltése. A rendszerhez, a telep most már nem tartozik hozzá.